© В.В.Аристов

Рецензенты: Н.М.Нагорный,

                      А.П.Левич

    ©   Вычислительный центр РАН, 1999. Св. план 1998

Ранее в [1-3] рассматривалась статистическая модель часов, которая является основой для построения реляционной теории пространства-времени. Реляционное понимание времени дает возможность непосредственно получать интервал времени dt, прошедшего между двумя опытами как среднее от пространственного изменения положения всех частиц в системе dr_i:

Здесь подразумевается, что с помощью идеализированного фотоаппарата, помещенного в некоторой точке, определяются все пространственные положения частиц. Эти координаты частиц полностью задают "опыт", или момент времени. Таким образом, единицы времени операционально выражаются через единицы расстояния и фундаментальную константу. Оказывается, что a есть величина, обратная к скорости света. На основе уравнения (1) получаются аналоги законов сохранения и уравнений движения обычной механики.

Для того, чтобы ввести уравнение для силы и развить предложенную модель в последовательную теорию, где фигурировали бы только безразмерные величины и фундаментальные постоянные, необходимо построить модель пространства. Это будет также реляционная модель, где пространственные отношения определяются для системы частиц. При этом разрабатывается по сути подход статистической механики, статистической физики, но используемый для описания самих пространства и времени. Пространство определяется через системы отношений масс. Будет в определенном смысле строиться пространство-масса (по аналогии с пространством-временем). В модели одинаковых частиц элементарное расстояние сводится к элементарной массе (в качестве размерностного множителя фигурирует комбинация физических фундаментальных констант), тем самым физические уравнения сводятся фактически к математическим соотношениям. На этом пути видится и определение связи между постулатами физики и аксиомами математики. В данной работе рассматривается реализация этих реляционных представлений о времени, пространстве и массе для достаточно простой модели.

Часы и линейки понимаются как макрообразования, в состав которых входит большое число частиц (атомов). Поэтому для макроскопических расстояний статистические закономерности, положенные в основу модели, дают результаты, соответствующие нашим макроскопическим представлениям. На небольших расстояниях и временных интервалах будут сказываться ошибки, связанные с недостаточно большой статистической выборкой. В модели пространства это будет проявляться в возможной неединственности прямой, проходящей между двумя точками.

Важной представляется сама связь основных уравнений физики (постулатов) с аксиомами математики. В данной статистической теории проблема аксиоматизации физики в перспективе видится сведенной к проблеме непосредственной связи постулатов физики и математики. Уравнения, которые задают связь пространства и времени в модели часов, и уравнения, возникающие в модели масштабных линеек для связи пространства и массы, позволяют перейти к безразмерным переменным. Тем самым в безразмерных переменных уравнения физики получают связь с чисто математическими соотношениями, опирающимися на аксиомы математики. Так может быть установлена связь, аналогичная соответствию между геометрией и алгеброй, определяемая аналитической геометрией, где все в результате сводится к аксиомам арифметики.

Полагается, что фундаментальные приборы физики - часы и линейки - имеют макроскопическую структуру и поэтому может исследоваться их статистическая природа. В основе подхода построения теоретических моделей часов и линеек лежит убеждение, что конструктивно пространство-время надо определять, анализируя сами измерительные процедуры. Тем самым развивается реляционный подход, где пространство и время не есть отвлеченные субстанции, но "теоретические следствия" более фундаментальных понятий, связанных с отношениями множества частиц, которые организуются определенным образом с помощью приборов - часов и линеек. Такой реляционный подход имеет вполне определенную традицию. Цитаты высказываний различных физиков и философов приведены в [3,4], но математических построений, насколько нам известно, в этом направлении не было сделано (отметим в этом смысле [4], где развивается другой вариант реляционного подхода, основанный на так называемой теории физических структур).

Общая схема построения последовательной реляционной теории такова: "время" ® "пространство" ® "частицы" ® "числа". В этой схеме время, пространство и система массивных частиц неравноправны в своих проявлениях, поскольку именно частицы как реляционные единицы лежат в основе системы отношений, которая определяется как пространство. Затем различные пространственные картины одной и той же системы частиц, различающихся пространственными отношениями, дают представление о времени. Если удастся выразить все пространственно-временные отношения через величины, связанные с количеством частиц, имеющих одинаковую массу, то фактически это и будет означать переход к описанию с помощью чисел.

В согласии с положениями настоящей работы интересными кажутся высказывания о связи геометрии и физики, в частности о макроскопичности и по сути статистичности пространства (в [4] дается обзор реляционных представлений различных авторов на природу пространства-времени). Приведем лишь хорошо известное высказывание Б.Римана о соответствии физических и чисто математических представлений в понимании геометрии: "Вопрос о том, справедливы ли допущения геометрии в бесконечно малом, тесно связан с вопросом о внутренней причине возникновения метрических отношений в пространстве. ... в случае дискретного многообразия принцип метрических отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного многообразия его следует искать где-то в другом месте. Отсюда следует, что или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним - силами связи, действующими на это реальное" [5, с.32-33]. Известно, что в общей теории относительности реализуется вторая из указанных здесь возможностей. В рамках нашей реляционной модели естественно пытаться изучать первую возможность.

Так же, как построение модели часов, построение модели линеек должно быть начато с анализа соответствующей измерительной процедуры. Полагаем, что приборы, используемые в физике, состоят из атомов, макроскопичность означает, что таких атомов в приборах много. Линейки измеряют большие по сравнению с размером атома расстояния. Причем линейка дает нам образ прямой и определяет метрику, поскольку задает масштаб измерения.

Эталон для измерения длины изготавливается из однородного материала; считаем, что дискретная атомная среда, из которой приготовлена масштабная линейка, удовлетворяет свойству однородности и взаимной симметричности расположения частиц. В понятии однородности также может быть смысл осреднения по большому числу частиц. Для малого числа частиц (атомов) процесс измерения с помощью измерения с помощью макрообъекта - линейки - не имеет очевидного смысла. Однако можно выделить важное свойство процедуры измерения, которое сохранится и при экстраполировании измерения больших расстояний на измерение малых. Оно состоит в сопоставлении "частицы измеряющего прибора - частицы дискретной среды, в которой проводится измерение". Мы считаем, что вся физическая процедура измерения длины сводится именно к установлению такого рода соответствия. Минимальное возможное соответствие "одна частица - одна частица". Единица и есть минимальный размер, выраженный в числах, т. е. минимальный размер - это одна частица. Поэтому можно утверждать, что основное размерностное физическое сопоставление

Определение элементарного отношения между двумя точками (частицами) в модели есть важнейшая основа для введения геометрических понятий. В уравнении (1), где фигурируют дифференциально-малые величины перемещений частиц dr_i, подразумевается, что эти малые линейные элементы приближаются небольшими отрезками прямых. При построении модели времени полагалось, что трехмерное пространство задано и в декартовой системе координат мы можем находить расстояния между его точками. При этом перемещение частиц определялось по изменению их положения (на двух фотографиях) в заданной декартовой системе координат. Теперь мы должны построить само пространство из тех же частиц, за перемещением которых мы будем следить. При этом в качестве твердого тела системы отсчета выступает система частиц неподвижных относительно друг друга. Пока полагаем, что все частицы "одинаковы" в смысле кинематических свойств (и динамических свойств, поскольку динамика в нашей модели есть следствие кинематики), а также своих проявлений при построении геометрической схемы.

Указанные дифференциально-малые расстояния dr_i можно считать отрезками прямых, если у нас справедлива схема обычной евклидовой геометрии, что и предполагалось при построении модели времени. В модели дискретной среды частиц такой образ, по-видимому, будет соответствовать действительности, если расстояния велики. ж величине расстояния мы можем уже судить, поскольку есть понятие минимального расстояния, физически осмысленного в рамках дискретной модели. Расстояние считается большим, если оно много больше r_e (или m_e в единицах массы, или много больше 1, если мы пользуемся безразмерными величинами). Мы пока не ввели понятие расстояния между двумя частицами и аппелируем к интуитивным образам. Прежде чем переходить к последовательному построению понятия прямой между двумя точками (и соответственно расстояния) заметим, что также интуитивно ясно, что когда две частицы расположены близко друг к другу (т.е. "между ними" мало других частиц), то расстояние теряет однозначный характер. И величину dr_i на таких малых расстояниях мы должны каким-то образом приближать, аппроксимировать линиями, проходящими между двумя точками. Естественной представляется возможность приближения с помощью элементарных линий, имеющих минимальное расстояние между двумя точками. Это и можно принять в качестве определения прямой, которое сохраняет свой смысл на больших расстояниях. Задание определения правила осреднения, позволяющее переходить в dr_i на больших масштабах к образам обычной евклидовой "однозначной" геометрии, видится наиболее физически и математически осмысленным требованием.

Элементарным расстоянием между частицами a и b в нашей дискретной среде можно назвать их некоторое отношение A(a,b). Саму эту величину a,b можно было бы назвать элементарной прямой. При этом такое расстояние естественно положить равным 2, поскольку, как указывалось, минимальное расстояние в безразмерных величинах не может быть меньше 1. (В целях удобства в дальнейшем будем, когда оговорено, полагать элементарное расстояние между двумя частицами равным 2-1=1, а минимально допустимое 1-1=0, что позволяет ввести метрику в обычном смысле).

Мы можем заметить, что введенное понятие элементарной прямой слишком неопределенно, поскольку физически понятно, что указанное элементарное расстояние имеет смысл устанавливать не между произвольными частицами, а только между "соседствующими". Если вводится элементарное (качественное) понятие соседства, или смежности, то расстояние между частицами, которые не являются смежными, можно определить, переходя от одной соседствующей частице к другой, пока не будет таким способом осуществлен переход между двумя произвольными частицами.

Формализацию удобно проводить, используя понятия теории графов, поскольку в этой теории содержатся многие необходимые понятия. Рассмотрим граф G, т.е. пару G(V,E), где V - вершины, E - ребра. В нашей модели вершинам соответствуют точки. Ребрами будем, как обычно, полагать две соседствующие точки (при этом не будет кратных ребер, т.е. две смежные вершины соединяются только одним ребром). Заметим, что в теории графов соседство (смежность) - одно из ключевых понятий. При этом в теории графов вершины, соединенные ребрами называются смежными; в нашей схеме мы шли от понятия смежности, а потом уже соединяли ребрами смежные вершины. Естественно предположить, что у нас в нашем дискретном множестве нет вершин (частиц), которые были бы изолированы от других частиц. Тогда от любой частицы к любой можно пройти по некоторому пути, построенному из ребер графа. Такой граф называется связным (см., например [6,7]). Наш граф простой (нет петель) и счетный. Пока будем рассматривать его как неориентированный.

Для введения понятия прямой между двумя вершинами (точками) используем понятие маршрута [6,7]). Маршрутом между элементами v₀ v_n графа называется множество пар вершин : {v₀, v₁}, {v₁,v₂}, ..., {v_n-1,v_n}, где в фигурных скобках стоит пара вершин, соединенных ребром. Простой цепью называется маршрут, если все вершины v_i различны, а ребрами соединяются соседние вершины (в нашем случае это всегда так).

Используя понятие простой цепи, можно ввести определение отрезка прямой между двумя точками и расстояния между этими точками. Вначале определяется расстояние между двумя точками. Метризация для графа осуществляется естественным образом. Пусть между точками a и b проведена простая цепь. Число ребер в этой простой цепи будем считать расстоянием по этой простой цепи между данными точками. Всегда можно найти простые цепи минимальной длины. Минимальная длина простой цепи между двумя точками называется расстоянием между этими точками. Легко видеть, что так введенное определение удовлетворяет всем аксиомам метрики.

Будем называть отрезком прямой, проходящей через точки A и B, простую цепь минимальной длины, проходящей между этими точками. Очевидно, что возможны модели дискретных сред, где такой отрезок будет не единственен. Можно определить теперь и всю прямую, проходящую через данные точки. Для этого продолжим ее за точки A,B. Будем считать, что точка C лежит на продолжении AB, если эта точка удовлетворяет следующему требованию. Построим всевозможные отрезки прямых BC, назовем множество таких отрезков (BC). Построим всевозможные отрезки прямой AC и определим аналогичное множество (AC). Если множество (AC) содержит в себе в качестве подмножества множество таких отрезков, которые состоят из отрезков AB и BC, то по определению считаем, что точка C лежит на продолжении отрезка прямой AB за точку B. Аналогично определяется продолжение отрезка AB за точку A. То, что среди простых цепей минимальной длины AC есть цепи минимальной длины, составленные из участков AB и BC, означает, что длина любого отрезка прямой AC равна: AC = AB+BC. Таким образом, из множества возможных вершин графа C выбирается узкий класс вершин, для которого в метрическом неравенстве треугольника выполняется строгое равенство. (Заметим, что можно было бы дать такое определение продолжения отрезка AB: точка C лежит на продолжении AB, если отрезок AC содержит точку B, однако в таком определении, по-видимому, множество возможных точек C слишком широко.)

Данное определение прямой позволяет делать некоторые утверждения о взаимном расположении точек. Например, можно заключить, что три взаимно-смежные точки не могут лежать на одной прямой. Пусть точки A,B,C взаимно-смежные. Не теряя общности, рассмотрим отрезок прямой AB и предположим, что C лежит на его продолжении. Но длина отрезка ABC равна 2. Но длина AC равна 1, так как A и C смежны. Значит, ABC не может быть включена в отрезки прямых AC. Противоречие доказывает утверждение.

Известно, что в системе аксиом Гильберта (см. [8,9]) задаются три основных рода объектов: точки, прямые, плоскости. Для них устанавливаются отношения "принадлежать", "лежать между", "конгруэнтен". На этой основе строится геометрическая схема. Будем следовать такому подходу. При этом понятия прямой и плоскости в нашей дискретной среде имеют отчетливо конструктивный смысл. Точки естественно соотносятся с частицами (они и назывались точками в прежней терминологии или же вершинами графа). Прямые определялись конструктивно. Введем теперь определение плоскости.

Пусть даны три точки A,B,C, не лежашие на одной прямой (предполагается, что такие точки существуют, это предположение будет совпадать с одной из аксиом связи; с другой стороны, характер дискретной среды определяет взаимное расположение точек: как указано выше, если есть три взаимно-соседствующие точки, то они не лежат на одной прямой). Проведем прямые AB, BC, AC. Возьмем произвольную точку D. Если D принадлежит одной из этих прямых, будем считать, что эта точка лежит на плоскости, задаваемой точками A,B,C. Пусть D не принадлежит ни одной из этих прямых. Проведем прямую через D и точку D₁, находящуюся на одной из трех прямых. Не нарушая общности, положим, что D₁ находится на прямой AB. Будем считать, что точка D находится на плоскости ABC, если прямая DD₁ пересекает одну из двух других прямых (BC или AC).

Отношение "лежит на" (или эквивалентное "принадлежит") понятно из введенных конструктивных определений. леношение "между" можно ввести, если упорядочить точки на прямой; для этого надо сопоставить соответствующие вершины графа натуральному ряду, и понятие "между" определяется через понятия "больше", "меньше". Отношение "конгруэнтен" вводится дальше.

В нашей геометрической схеме некоторые из аксиом Гильберта оказываются следствиями более элементарных предположений. Некоторые аксиомы не выполняются, что в первую очередь связано с неединственностью прямой, проходящей через две точки. Некоторые аксиомы будут приниматься без обсуждения. Заметим, что основные различия с традиционными основаниями геометрии связаны с различием схемы традиционного континуального и данного дискретного подходов. Таким образом, мы устанавливаем соответствие с наиболее простой и разработанной системой оснований геометрии. Причем очевидны различия в некоторых важнейших аксиомах. Некоторые следствия (теоремы) также будут отличаться от традиционных. Выяснению этого вопроса надо было бы посвятить специальное исследование.

Некоторые авторы придерживаются различной (эквивалентной) системы аксиом. Мы будем следовать систематике, описанной в [8,9].

Аксиомы связи

I₁. Каковы бы ни были две точки A,B, существует прямая a, проходящая через каждую из точек A,B.(+) Будем в конце формулировки аксиомы (выделяемой курсивом) ставить знак "+", если она справедлива в нашей геометрической схеме, и будем ставить знак "-", если она несправедлива. Утверждение данной аксиомы соответствует принимаемому в теории графов утверждению о том, что существует граф (именно такой мы и рассматриваем), между любыми вершинами которого можно провести простую цепь минимальной длины.

I₂. Каковы бы ни были две точки A,B, существует не более одной прямой, проходящей через каждую из точек A,B.(-) В рассматриваемой дискретной системе данная аксиома в общем случае может не выполняться.

I₃. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. (+) Первая часть данного утверждения справедлива по самому построению прямых из дискретных точек в рамках подхода дискретной среды. Вторая часть утверждения может быть принята как аксиома, (это утверждение означает, что надо рассматривать именно такую модель дискретной среды; интуитивно ясно, что такие модели могут быть построены).

I₄. Каковы бы ни были три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, существует плоскость a, проходящая через каждую из трех точек A, B, C. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.(+) Это верно по самому констуктивному построению плоскости.

I₅. Каковы бы ни были три точки A,B,C, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, которая проходит через каждую из трех точек A,B,C. (-) Эта аксиома не обязательно выполняется, поскольку плоскость строится из прямых, которые могут быть не единственными.

I₆. Если две точки A,B прямой a лежат на плоскости a, то каждая точка прямой a лежит на плоскости a. (+)

I₇. Если две плоскости a, b имеют общую точку A, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку B. (+)

I₈. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие на одной плоскости. (+)

Аксиомы порядка

II₁. Если точка B лежит между точкой A и точкой C, то A,B,C суть различные точки одной прямой и B лежит также между C и A. (+)

II₂. Каковы бы ни были точки A и C, существует по крайней мере одна точка B на прямой AC, такая что C лежит между A и B. (+)

II₃. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. (+) Эти аксиомы справедливы ввиду указанной арифметизации точек на прямой.

II₄. (аксиома Паша) Пусть A,B,C - три точки, не лежащие на одной прямой, и a - некоторая прямая в плоскости A,B,C, не содержащая ни одной из точек A,B,C. Тогда если прямая a проходит через точку отрезка AB, то она проходит также либо через точку отрезка AC, либо через точку отрезка BC. (+) Принимаем это положение также в виде аксиомы.

Аксиомы конгруэнтности

Полагаем, что отрезок может находиться в известном отношении к другому отрезку (или к самому себе), и будем это отношение обозначать словом "конгруэнтен" или словом "равен". В нашей дискретной модели естественно рассматривать два отрезка конгруэнтными, если их длины в рамках принятой метрики на графе одни и те же.

III₁3. Если A,B - две точки на прямой a и A,^ў - точка на той же прямой или на другой прямой a^ў, то всегда можно найти по данную от точки A^ў сторону прямой a^ў одну и только одну такую точку B^ў, что отрезок AB конгруэнтен отрезку A^ўB^ў. (+) Это отношение между отрезками AB и A^ўB^ў обозначается так: AB = A^ўB^ў. Для каждого отрезка AB требуется конгруэнтность AB = BA. Данная аксиома с очевидностью является следствием принятого в нашей модели определения конгруэнтности.

III₂. Если отрезки A^ўB^ў и A^ўўB^ўў конгруэнтны одному и тому же отрезку AB, то A^ўB^ў конгруэнтен отрезку A^ўўB^ўў. (+) Справедливость данной аксиомы очевидна.

III₃. Пусть AB и BC - два отрезка на прямой a, не имеющие общих внутренних точек, и пусть далее A^ўB^ў и B^ўC^ў - два отрезка на той же или на другой прямой a^ў, тоже не имеющие общих внутренних точек. Если при этом AB = A^ўB^ў и BC = B^ўC^ў, то AC = A^ўC^ў. (+) Справедливость данной аксиомы очевидна.

Две другие аксиомы относятся к конгруэнтности углов, а также связи конгруэнтности отрезков и конгруэнтности углов. Вначале дается определение луча, исходящего из некоторой точки.Определение угла вводится обычным образом (можно кратко заметить, что в нашей схеме возможно другое определение угла через метрические соотношения, для этого задаются три стороны треугольника, углы будут полагаться конгруэнтными, если соответствующие стороны пропорциональны). Две приводимые ниже аксиомы соответствуют традиционным из [9].

III₄. Каждый угол может быть однозначно отложен в данной плоскости по данную сторону при данном луче. Каждый угол конгруэнтен самому себе.(+)

III₅. Пусть A,B,C - три точки, не лежащие на одной прямой, и A^ў, B^ў, C^ў - тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом AB = A^ўB^ў, AC = A^ўC^ў и угол BAC равен углу B^ўA^ўC^ў, то угол ABC равен углу A^ўB^ўC^ў и угол ACB равен углу A^ўC^ўB^ў. (+)

Аксиомы непрерывности

В этой группе аксиом устанавливается процесс измерения, в результате которого отношение любого отрезка к линейной единице выражается определенным числом. В нашей дискретной системе частиц с введенной метрикой на графе данные аксиомы очевидны в силу аксиом арифметики.

IV₁ (аксиома Архимеда). Пусть AB и CD - произвольные отрезки. Тогда на прямой AB существует конечное число точек A₁, A₂,... , A_n, расположенных так, что точка A₁ лежит между A и A₂, точка A₂ лежит между A₁ и A₃ и т.д., причем отрезки AA₁, A₁A₂, ..., A_n-1A_n конгруэнтны отрезку CD и B лежит между A и A_n. (+)

IV₂ (аксиома Кантора). Пусть на какой угодно прямой a дана бесконечная последовательность отрезков A₁B₁, A₂B₂, ..., из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего; пусть далее, каким бы ни был заранее данный отрезок, найдется номер n, для которого A_nB_n меньше этого отрезка. Тогда существует на прямой a точка X, лежащая внутри всех отрезков A₁B₁, A₂B₂ и т. д. (+) В данной аксиоматике мы следуем [9]. Обоснование измерения отрезков дается аксиомой Архимеда. Аксиома Архимеда позволяет (при выборе линейной единицы) для каждого отрезка единственным образом определить некоторое положительное число, называемое длиной отрезка. Чтобы иметь возможность и обратно установить существование отрезка, длина которого равна любому наперед данному положительному числу, вводится вторая аксиома.

Аксиома параллельности

Определение параллельных прямых может быть дано в обычной формулировке: две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общей точки, называются параллельными.

V (аксиома параллельности). Пусть a - произвольная прямая и A суть точка, лежащая вне прямой a; тогда в плоскости, определенной точкой A и прямой a, можно провести не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей a. (-) В силу неединственности прямой в нашей схеме эта аксиома может не выполняться. Можно ожидать, что аксиома будет справедливой для прямых, имеющих достаточно большую длину, для которых может быть сделан предельный переход к единственной прямой, проходящей через две точки. Cделаем важное замечание. Если некоторая дискретная система не будет удовлетворять интуитивным условиям взаимной симметрии расположения частиц, то допустимо предположить, что аксиома параллельности может быть нарушена. Несимметричность взаимного расположения частиц в системе (если есть зоны "сгущения" или "разрежения", т.е. если присутствуют "массивные тела") можно обнаружить, "прикладывая" к такой системе эталонную систему симметрично расположенных частиц. Тогда в такой несимметричной системе может, например, оказаться, что параллельных прямых (имеется ввиду предельный образ) не существует. Данный факт позволит обнаруживать связь с эффектами общей теории относительности при появлении массивных тел. Cимметричная дискретная система может быть сопоставлена с традиционной схемой евклидовой геометрии, дающей в пространстве-времени метрику Минковского.

Для того, чтобы указанные возможности приобрели реальный смысл, должно быть дано конструктивное определение параллельной прямой. На заданной прямой из концов некоторого отрезка восставим перпендикуляры так, чтобы они принадлежали одной плоскости. Отложим на этих перпендикулярах от прямой отрезки равной длины. Проведем теперь через концы этих отрезков прямую. Эту прямую можно назвать параллельной данной. Для введения понятия параллельности надо вначале конструктивно определить понятие перпендикуляра к прямой (как частный случай угла).

Замечание о размерности дискретного пространства

Трехмерность пространства в системе аксиом Гильберта и в системе аналогичных предложений в нашей схеме связана с предположением, что найдутся четыре точки, не лежащие на одной плоскости. В дискретной схеме, где точка, прямая, плоскость определялись индуктивным образом, нигде не видно ограничений на продолжение этой индуктивной последовательности элементарных объектов. При этом "объем" может быть образован четырьмя плоскостями, задаваемыми четверкой точек, не лежащих на одной плоскости. Если ввести аксиому о том, что найдутся пять точек, не лежащих в одном "объеме", то допустимо строить четырехмерное пространство и т.д. В этом смысле можно попытаться объяснить трехмерность физического пространства, исходя из схемы дискретной среды. Одномерность времени связана с минимально необходимым числом связей, чтобы описать движение. Для этого целое должно быть разделено по крайней мере на две части "субъект" - "мир", и их относительное взаимоотношение определяет одну связь, один параметр "с"-"м". Пространство вводит в рассмотрение еще одно разделение - необходимо определить положение выделенной частицы, ее можно назвать "объектом". Тогда есть три части "с", "о", "м", и три возможные связи между ними определяют три минимально необходимых параметра для описания. Три отношения "с"-"о", "о"-"м", "с"-"м" не надо представлять как три стороны некоего евклидового треугольника, где есть определенное соотношение между этими сторонами. Отношения "с"-"м" и "о"-"м" носят сложный статистический характер, и здесь нет общей "вершины" "м".

Принцип соответствия представляется очень важным в любой теории. В нашей дискретной геометрической схеме в качестве такого принципа должен выступать формализм предельного перехода к образам обычной евклидовой геометрии. Основное здесь - понять, в каком смысле неединственная прямая, проходящая через две точки, должна перейти в единственную прямую евклидовой геометрии. Мы ожидаем, что должен быть предельный переход к единственной прямой, если расстояние между точками, через которую проходит прямая, стремится к бесконечности. Данное понятие осмысленно, поскольку оно просто означает, что расстояние, выраженное в количестве частиц на отрезке прямой между этими точками, неограниченно возрастает по сравнению с единицей. При этом будет стремиться к нулю не отношение "ширины" трубки возможных отрезков прямых к длине отрезка, но носитель функции, которая описывает статистическое распределение прямых по "поперечному сечению". В пределе мы получим функцию с нулевым носителем - d-функцию. Так будет пониматься евклидовая прямая, "не имеющая ширины".

Изучим некоторую простейшую реализацию указанного предельного перехода. Возьмем две произвольные точки A и B и проведем отрезок прямых между ними. Будем рассматривать всевозможные отрезки прямых, проходящих через эти две точки. Легко видеть, что количество таких отрезков связано с предположениями о характере дискретной среды. На более формальном языке - о свойствах соответствующего графа. В частности, существенна степень инцидентности в этом графе, т.е. количество соседствующих частиц для данной. Мы будем считать, что степень инцидентности постоянна для каждой вершины графа в силу предположения о симметричном взаимном расположении частиц в дискретной среде. Будем вначале рассматривать малые степени инцидентности. Но нас будет интересовать характер связей в том множестве точек, через которые проходит хотя бы один отрезок прямой AB. На рис.1 показана простая реализация такого множества отрезков. Здесь может быть введен направленный граф от A к B, как указано, в частности, в [10].

Видно, что вершины, которые удовлетворяют такому свойству, что через них проходит хотя бы один отрезок, образуют ромб (см. рис.1). Вначале рассмотрим более простую задачу. Определим, сколько отрезков прямых приходит в данную точку из вершины A. Будем теперь против каждой вершины ставить соответствующее число. Легко видеть, что при этом образуется так называемый треугольник Паскаля (см. [10]). (Заметим, что указанная на рис.1 схема может быть реализована на графе с инцидентностью 4.) Причем, как известно, такими числами являются соответствующие биномиальные коэффициенты. Для того, чтобы это показать, введем "координаты" для каждой точки (вершины) указанного треугольника. Если левую сторону треугольника будут нумеровать целые числа l, а правую r, (а уровень "по вертикали" будет обозначать номер m, причем m = l+r) то легко видеть, что для каждой точки в треугольнике Паскаля будет справедливо C_l+r^r = C_l+r-1^r + C_l+r-1^r-1. Отсюда получаем, что C_n^m - это биномиальные коэффициенты, или число сочетаний из n по m. На m-м уровне общее число возможных отрезков, проходящих через него, равно (1+1)ⁿ = C_n⁰+...+C_nⁿ, это ничто иное как формула для бинома Ньютона. (Возможны обобщения треугольника Паскаля [10], где рассматриваются полиномиальные распределения).

Следующая интересующая нас задача - сколько прямых проходит между точками A и B? Мы считаем для удобства, что расстояние равно 2n, так что средняя линия (на самом широком поперечнике) проходит на n-м уровне (случай нечетного расстояния 2n+1 не вносит существенных изменений в рассуждения). Такая простая задача легко разрешается с помощью комбинаторных формул (см., например, [11]). Общее количество прямых равно C_2nⁿ. Через фиксированную точку с координатой l на уровне m проходит C_m^l C_2n-m^n-m+l прямых. Сумма чисел прямых, проходящих через все точки одного уровня m, равна общему числу прямых, т.е. C_m⁰ C_2n-m^n-m + C_m¹ C_2n-m^n-m+1+... +C_m^m C_2n-mⁿ прямых.

Для того, чтобы иметь удобные оценки при переходе к большому расстоянию, т.е. когда n ® Ґ, будем использовать асимптотическую формулу локальной предельной теоремы Муавра (см., например, [12]). Число прямых между точками A и B, проходящих через уровень m с координатой l (отнесенное к общему числу прямых), равно

Переход к евклидовой геометрии должен происходить при бесконечно-большом расстоянии между точками A и B, при этом надо определить единственную прямую. Предельная прямая будет "сплетена" из множества прямых, но в некотором смысле ширина этой "трубки прямых" по отношению к длине должна стремиться к нулю. Чтобы соответствие с отрезком евклидовой прямой было достаточно точным, будем длину отрезка прямых нормировать на число частиц, т.е. на 2n, так чтобы получалась единичная длина. При этом ширина в относительном смысле должна стремиться к нулю, и распределение в поперечном направлении должно переходить в предельный образ d-функции.

Мы будем рассматривать "суммарную" (или статистическую) прямую, записывая все возможные точки, через которые могут проходить отрезки прямых между точками A и B, со статистическим весом, равным отношению количества числа таких отрезков прямых, проходящих через данную точку, к общему количеству таких отрезков прямых. Запись для этой статистической прямой будет выглядеть так: е_{l = 0}^m P_2n,m,l(x = m,y = l).

На уровне m проводится суммирование точек с соответствующими весами, так что вместо одной точки в этом месте сечения трубки прямой будет статистическая сумма из различных точек этого уровня. Здесь величина P₍2n,m,l) означает вероятность (или статистический вес) пройти указанному отрезку прямой через точку с координатами (x = m,y = l). В дальнейшем удобно ввести координату y = l-m/2. Координата x здесь определяет расстояние рассматриваемой точки от вершины A, y - отклонение от "оси" AB). На каждом слое m происходит суммирование, так что те точки на одном уровне m, у которых статистический вес больше, в "большей степени" участвуют в суммарном отрезке прямой между A и B. Указанные вероятности были вычислены ранее, и для них написаны соответствующие оценки.

Предельный переход к единичному евклидову отрезку прямой заключается в замене переменной x на x^ў = x/(2n). Будем соответственно уменьшать и координату y, чтобы сохранить соответствие между длиной и шириной трубки отрезков прямых. При этом, например, в самом широком месте ромба при m = n получаем, учитывая, что y = y^ў n,

Искомая вероятность должна теперь увеличиться в 2n раз, поскольку общее количество отрезков прямых уменьшилось в 2n раз (можно так условно положить, учитывая нашу нормировку длины отрезка на 1). Это означает, что нас будет теперь интересовать вероятность

Но известно, что Ц(n)/Ц(p)exp(-ny²)®d(y) при n®Ґ. Таким образом, при стремлении величины расстояния отрезка к бесконечности и при соответствующей перенормировки на конечный единичный отрезок происходит переход к единственному образу симметричной прямой.

Данная геометрическая схема может служить основой для построения физического дискретного пространства-времени. В таком подходе может быть намечен и путь определения квантовых эффектов. В отличие от хорошо известных способов дискретизации самих пространства-времени (можно отметить как одну из первых работ [13,14], обзор различных подходов здесь дается в [15,16]), в нашей схеме не вводится пространственная решетка в уже существующем пространстве. Само геометрическое пространство строится из простых элементов. Только затем происходит переход к предельным образам обычного пространства. Для этих предельных евклидовых понятий и должна вводиться модель времени, выраженного через изменение пространственных координат частиц системы. И отсюда следует принцип относительности, развитый и для СТО.

С другой стороны, в данной статистической модели время оказывается зависимым от пространства, и если мы рассматриваем пространство, имеющее квант величиной r_e, то соответственно нельзя точнее измерить временной интервал, чем t_e² ~ a² r_e², поскольку каждый из членов статистической суммы в (1) не может стать меньше, чем r_e² в согласии с (2). Значит время также дискретизируется с минимальным размером t_e = r_e/c.

Рассмотрим кратко, как меняются уравнения движения в допущении, что значения приращений времени и пространства ограничены снизу Пусть мы изучаем уравнение движения, где на частицу действует постоянная сила F. Если мы попытаемся записать аналогичное уравнение в нашей модели, то окажется, что придать привычный однозначный смысл производной не удается. При этом, используя разложение в ряд Тейлора, получим v(t+Dt)-v(t) = v^ў(t) Dt + 1/2v^ўў(t_m)Dt², где v - скорость, значение второй производной берется в некоторой промежуточной точке t_m. Если теперь подставить это выражение в выражение для производной и устремить приращение времени Dt к конечному пределу t_e, то получим

Дальнейший план построения теории заключается в переходе к безразмерным величинам и фундаментальным константам. Наряду с безразмерными скоростями в модели пространства-времени теперь можно составлять безразмерные потенциалы m_e/r_i, исходя из предложенной модели пространства-массы. Введение уравнения для силы схематически намечено в [18]. В уравнение движения, полученное в [1-3], входит сумма по всем частицам, кроме рассматриваемых в данной системы величин квадратов скоростей. Можно составить аналогичную сумму для указанных потенциалов. Если предположить, что соответствующие распределения случайных величин одинаковы, то можно приравнять данные суммы, исходя из предельных теорем теории вероятностей. Отличия будут порядка статистической ошибки, они определяют расхождения с традиционной теорией (если число частиц в мире считать большим, то отличия эти чрезвычайно малы). В этом состоит путь получения гравитационных и кулоновских потенциалов, которые обратно пропорциональны расстоянию. Подробное изложение предполагается сделать в дальнейшем.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 98-01-00443).

1. Аристов В.В. Статистическая модель часов в физической теории // Докл. РАН. 1994, Т. 334, N2. С.161-164.

2. Aristov V.V. Relative siatistical model of clocs and physical properties of time // On the way to understanding the time phenomenon. Singapore, World Scientific, 1995. P.26-45.

3. Аристов В.В. Реляционная статистическая модель часов и физические свойства времени // Конструкции времени в естествознании. М., Изд.-во МГУ, 1996. С. 48-81.

4. Владимиров Ю.С. Реляционная теория пространства-времени и взаимодействий. Часть 2. Теория физических взаимодействий. М., Изд-во МГУ, 1998.

5. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии. // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М., Наука, 1979.

6. Берж Т. Теория графов и ее применения. М., ИЛ, 1962.

7. Зыков А.А. Теория конечных графов. Новосибирск, Наука, 1969.

8. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., Гостехиздат, 1948.

9. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М., Физматлит, 1961.

10. Бондаренко Б.А. Обобщенные треугольники и пирамиды Паскаля. Ташкент, Фан, 1990.

11. Пойа Д. Математическое открытие. М., Наука, 1976.

12. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1988.

13. Ambarzumian V., Ivanenko D. Zur Frage nach Vermeidung der une- ndlichen Selbstrucjwirkung des Electrons. Z.Phys. 1930, Bd 64, S. 563.

14. Snyder H. Quantized space-time. Phys. Rev. 1947, V.71. P.38.

15. Блохинцев Д.И. Пространство и время в микромире. М., Наука, 1982.

16. Вяльцев А.Н. Дискретное пространство-время. М., Наука, 1965.

17. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М., Наука, 1968.

18. Аристов В.В. Принцип Маха и статистическая модель прост- ранства-времени // 8-я Российск. гравитационная конф. Тез. докл. М., Изд-во МГУ, 1993. С.249.