А.К. Гуц

Теоретико-топосная модель мультиверса Дойча

The Deutsch multiverse is collection of parallel universes. In this article a formal theory of the Deutsch multiverse and a topos-theoretic model of multiverse are given. For this the Lawvere-Kock Synthetic Differential Geometry and models for smooth infinitesimal analysis are used.

Введение

В книге Дэвида Дойча [1] излагается эскиз структуры физической реальности, которая представляет собой совокупность взаимодействующих параллельных вселенных, называемой мультиверсом, правильное описание которого, как считает Дойч, возможно лишь в рамках квантовой теории.

Наша цель - оставаясь в рамках математического аппарата 4-мерной общей теории относительности, описывающей Вселенную как конкретное 4-мерное лоренцево многообразие бR⁴, g⁽⁴⁾с, называемое пространством-временем, предоставить возможность учитывать наличие параллельных, т.е. других вселенных, являющихся самыми различными 4-мерными псевдоримановыми многообразиями, за счет любого необходимого произвольного увеличения размерности особого Гиперпространства, объемлющего все вселенные. Более того, Гиперпространств должно быть сколь угодно много; геометрия, топология, размерность Гиперпространств должны быть сколь угодно различными, чтобы всегда можно было найти бесчисленное число вселенных, сколь угодно подобных нашей, и одновременно должно существовать сколь угодно много вселенных, совершенно непохожих на мир, в котором мы живем.

Структура физической реальности должна учитывать прихоть мыслящего существа видеть ее во всевозможных мыслимых формах, располагая при этом весьма скудным исследовательским инструментарием, основой которого должны быть теория относительности и квантовая механика.

Следут особо подчеркнуть, что мы не намерены переходить к многомерным теориям типа Калуцы-Клейна. Нет, ни в коем случае. Подчеркиваем, что основой теории мультиверса должна быть 4-мерная метрика g⁽⁴⁾.

Нетрудно понять, что поставленная нами цель требует иного взгляда на общую теорию относительности, поскольку мы собираемся совместить несовместимые вещи. Тем не менее, выход находится при обращении к интуиционистскому взгляду на риманову геометрию. Отказываясь от закона исключенного третьего, можно построить теорию, включающую как классический вариант общей теории относительности, так и множество других ее многомерных обобщений.

1  Формальная теория мультиверса

Теорию мультиверса следует строить как формальную теорию T , максимально похожую на общую теорию относительности, т.е. как теорию одной 4-мерной вселенной, а параллельные вселенные должны появиться при построении моделей формальной теории.

Основой формальной теории T может послужить так называемая Синтетическая дифференциальная геометрия (СДГ) Ловера-Кока [2]. Как известно, из-за того, что принимаемая СДГ аксиома Кока-Ловера несовместима с законом исключенного третьего, нельзя построить модель этой теории в категории теории множеств Кантора Set.

Отказ от закона исключенного третьего приводит нас к интуиционистской логике, которой мы должны придерживаться при развитии теории мультиверса, опираясь на СДГ. Место теоретико-множественных моделей формальной теории мультиверса должны занять теоретико-топосные модели. Последние хотя и обладают, в общем случае, внутренней интуиционистской логикой, развиваются в рамках двузначной классической логики. Это позволяет математику иметь дело с привычными объектами, правда, в рамках очень сложных конструкций, каковыми являются топосы.

Основным для СДГ Кока-Ловера является замена поля действительных чисел R на коммутативное кольцо R. В идеале хотелось бы, чтобы оно удовлетворяло следующим аксиомам ²:

(A1) бR,+,·,0,1с - коммутативное кольцо.
(A2) R локальное кольцо, т.е.


0=1 Ю ^ $y (x·y=1) $y  (1-x)·y=1.


(A3) бR, < с - действительное упорядоченное локальное кольцо, т.е. < - транзитивное отношение, совместимое с кольцевой структурой в том смысле, что


(a) 0 < 1, (0 < x &  0 < y Ю 0 < x+y &  0 < x·y), (b) $y (x·y=1)Ы (0 < x Ъx < 0), (c) 0 < x Ю $y(x=y2) (евклидовость).


(A4) Ј - предпорядок, совместимый с кольцевой структурой, т.е. рефлексивное и транзитивное отношение, и


(a) 0 Ј 1, (0 Ј x &  0 Ј y Ю 0 Ј x+y &  0 Ј x·y), 0 Ј x2, (b) (x -нильпотент, т.е. xn=0) Ю 0 Ј x.


(A5) < и Ј - совместимы, т.е.


(a) x < y Ю x Ј y, (b) x < y &  y Ј x Ю ^.


(A6) (Аксиома Кока-Ловера). Для любого


"(f О RD) $! (a,b) О R×R "d О D( f(d)=a+b· d),

где D={x О R : x²=0}.

Как показано в [2], аксиома (A6) несовместима с законом исключенного третьего.


(A7) (Аксиома интеграла).


"f О R[0.1]$!g О R[0.1](g(0)=0  &  "x О [0,1] (gў(x)=f(x)),

где [0,1]={x О R : 0 Ј x &  x Ј 1} и gў(x) - это единственное b такое, что "d О D(g(x+d)=g(x)+b·d).

Используется символическая запись


g(x)= 1 у х 0  f(t)dt.


(A8) "x О [0,1] 0 < f(x) Ю 0 < т₀¹f(x)dx.
(A8$^\prime$) "x О [0,1] 0 Ј f(x) Ю 0 Ј т₀¹f(x)dx.
(A9) (Существование обратной функции).


"f О RR  "x О R  (fў(x)- обратимоЮ




Ю$ открытые U,V(x О U & f(x) О V & f|U:U® V - биекция)).


(A10) N М R, т.е. "x О N $y О R (x=y).
(A11) R - архимедово, т.е. "x О R $n О N (x < n).
(A12) (Аксиомы Пеано).


0 О N "x О R (x О N Ю x+1 О N) "x О R (x О N & x+1=0 Ю ^).

Кольцо R дополнительно к обычным действительным числам из R располагает элементами, называемыми инфинитезималами и входящими в <<множества>>

D={d О R : d2=0}, ..., Dk={d О R : dk+1=0},...,

D={x О R : f(x)=0,  f О m0g },

где m^g_{0} - идеал функций, имеющих нулевой росток в 0 ³, причем

D М D2 М ... М Dk М ... М D.

В рамках изложенной аксиоматики можно построить [4,3] риманову геометрию для 4-мерных (формальных) многообразий бR⁴, g⁽⁴⁾с, являющуюся основой для эйнштейновской теории гравитации.

Мы постулируем, что мультиверс - это 4-мерное пространство-время, описываемое с помощью СДГ, т.е. является формальным лоренцевым многообразием бR⁴, g⁽⁴⁾с, для которого выполняются уравнения Эйнштейна, представленные в традиционном виде:

R(4)ik-  1 2 g(4)ik(R(4)-2L)=  8pG c4 Tik.

(1)

Решением этих уравнений будет 4-метрика g⁽⁴⁾.

На формальном уровне физические следствия таких предположений не так заметны, как математические. Поэтому необходимо обратиться к моделям формальной теории. Наиболее исследованными являются так называемые хорошо адаптированные модели вида Set^{L op}, содержащие как полную подкатегорию категорию гладких многообразий M .

2  Гладкие топосные модели мультиверса

Пусть L - это дуальная категория для категории конечно порожденных C^Ґ-колец. Она называется категорией локусов [7]. Объектами категории L являются все те же конечно порожденные C^Ґ-кольца, а морфизмами - обращенные морфизмы категории конечно порожденных C^Ґ-колец. Принято во избежание путаницы объекты (локусы) категории L обозначать как lA, где A - C^Ґ-кольцо. Следовательно, L -морфизм lA ® lB - это C^Ґ-гомоморфизм B ® A.

Конечно порожденное C^Ґ-кольцо lA изоморфно кольцу вида C^Ґ(R ⁿ)/I (для некоторого натурально числа n и некоторого конечно порожденного идеала I).

Категория Set^{L op} является топосом. Мы рассмотрим топос Set^{L op} как модель формальной теории мультиверса. Важно отметить, что модель Set^{L op} обладает патологическими свойствами: многие из аксиом (A1)-(A12) не выполняются в Set^{L op}. Например, оказывается, что гладкая прямая R, будучи коммутативным кольцом с единицей 1, не является при этом даже локальным кольцом, т.е. нарушается аксиома (A2). Более того, R не обладает свойством архимедовости (аксиома (A11)).

Можно рассматривать в качестве моделей топосы F , G и Z и многие другие [7,Appendix 2]. Для них выполнены все аксиомы (A1)-(A12) (см.[7,c.300]). Однако работа с топосом Set^{L op} позволяет быстрее ознакомиться с излагаемой теорией мультиверса, не усложняя изложение математическими конструкциями.

На языке Дойча переход к конкретной модели формальной теории - это порождение виртуальной реальности ⁴. Физическая реальность, воспринимаемая нами и названнная Дойчем мультиверсом ⁵, также является виртуальной реальностью, созданной нашим мозгом [1,c.140]. Более того, <<виртуальная реальность, основанная на неправильных законах, и есть наш единственный источник получения знаний! ... А поскольку наши концепции и теории (будь они врожденные или приобретенные) никогда не совершенны, все наши передачи на самом деле неточны. То есть, они дают нам ощущение среды, которая значительно отличается от среды, в которой мы действительно находимся>> [1,c.140].

Модель мультиверса - это генератор виртуальной реальности, который обладает определенным репертуаром сред, которые он создает и в которые мы погружаемся. Поясним, как это происходит.

При интерпретации i: Set^{L op} |= T формальной теории T мультиверса в топосе Set^{L op} объектам теории, например кольцу R, степени R^R и т.д., ставятся в соответствие объекты топоса, т.е. функторы F=i(R), F^F=i(R^R) и т.д. Отображениям, например R® R, R® R^R, - морфизмы топоса Set^{L op}, т.е. естественные преобразования функторов - F® F, F® F^F.

Наконец, при интерпретации языка формальной теории мультиверса необходимо приписать элементам кольца R <<элементы>> функторов F О Set^{L op}. Иначе говоря, нужно проинтерпретировать отношение r О R. Это сделать не так просто потому, что функтор F определен на категории локусов L ; его переменной (аргументом) является произвольный локус lA, а значением множество F(lA) О Set. Выход из затруднения заключается в определении обобщенных элементов x О _lAF функтора F.

Обобщенным элементом x О _lAF, или элементом x функтора F в стадии lA, называется элемент x О F(lA).

Теперь можно сопоставить элементу r О R обобщенный элемент i(r) О _lAF. Но, как видим, таких элементов столько сколько локусов. При переходе к модели Set^{L op} происходит <<размножение>> элемента r. Он начинает существовать в бесконечном числе вариантов
{i(r): i(r) О _lAF, lA О L }.

Важно отметить, что поскольку 4-метрика g⁽⁴⁾ - это элемент объекта R^R4×R4, то <<интуиционистская>> 4-метрика начинает существовать в бесконечном числе классических вариантов i(g)⁽⁴⁾ О _lAi(R^R4×R4). Обозначим каждый такой вариант как i(g)⁽⁴⁾(lA).

Для упрощения изложения будем далее иметь дело с объектами модели Set^{L op}. Другими словами, будем писать g⁽⁴⁾(lA) вместо
i(g)⁽⁴⁾(lA).

Нетрудно понять, что каждый вариант g⁽⁴⁾(lA) классической 4-метрики удовлетворяет <<своему>> уравнению Эйнштейна [4]

R(4)ik(lA)-  1 2 g(4)ik(lA)[R(4)(lA)-2L(lA)]=  8pG c4 Tik(lA).

(2)

Причем не исключено, что физические константы G,c также могут меняться от варианта к варианту.

Прежде чем пойти дальше, укажем на существование вложения Ионеды (Yoneda)

y:L ® SetL op,

y(lA)=HomL (-, lA).

Примем, что кольцо R интерпретируется как функтор y(lC^Ґ(R )), т.е.i(R)=y(lC^Ґ(R )). Будем далее писать lA вместо y(lA) и опустим символ i. Тогда имеем

R(-)=lCҐ(R )(-)=HomL (-, lCҐ(R )).

Аналогично

RR4×R4(lA)=HomL (lA, RR4×R4) = HomL (lA×(R4×R4), R) =

= HomL (lCҐ(R m)/I×lCҐ(R 4)×lCҐ(R 4),lCҐ(R )) =

= HomL op(lCҐ(R ),CҐ(R m)/IДҐ CҐ(R 4)ДҐ CҐ(R 4)) =

= HomL op(CҐ(R ), CҐ(R m+8)/(I,{0})) = HomL (lCҐ(R m+8)/(I,{0}),lCҐ(R )),

где lA=lC^Ґ(R ^m)/I, Д_Ґ - символ копроизведения C^Ґ-колец, и при вычислении использованы формулы

CҐ(R n)ДҐ CҐ(R k)=CҐ(R n+k),

lA® lClB lB×lA® lC .

Отсюда следует, что при lA=lC^Ґ(R ^m)

g(4)(lA)=[g О lARR4×R4] є g(4)ik(x0,...,x3, a)dxidxk,   a=(a1,...,am) О R m.

Дополним метрику g⁽⁴⁾_ik(x⁰,...,x³, a) до (4+m)-метрики в пространстве R ^4+m

g(4)ik(x0,...,x3, a)dxidxk-da12-...-dam2.

(3)

Получаем (4+m)-мерную геометрию.

Символически процедуру получения многомерных вариантов геометрии, порождаемых интуиционистской 4-геометрией g⁽⁴⁾, можно представить в виде формальной суммы

g(4)=c0· [g(4) О 1R{R4×R4}] 4-мерная геометрия  +c1· [g(4) О lCҐ(R 1)RR4×R4] 5-мерная геометрия  +...

...+cn-4· [g(4) О lCҐ(R n-4)RR4×R4] n-мерная геометрия  +...,

где коэффициенты c_m берутся из поля комплексных чисел.

Поскольку стадий несчетное число, то вместо суммы следует писать интеграл

g(4)= у х L   D [lA]c(lA)[g(4) О lCҐ(R n-4)RR4×R4].

(4)

Используем обозначения квантовой механики ⁶:

g(4)® |g(4)с,    [g(4) О lCҐ(R n-4)RR4×R4]® |g(4)(lA)с.

Тогда (4) перепишется в виде

|g(4)с = у х L   D [lA]c(lA)|g(4)(lA)с.

(5)

Таким образом, формальная 4-геометрия Кока-Ловера бR⁴,g⁽⁴⁾с есть сумма бесконечного числа классических многомерных псевдоримановых геометрий (гиперпространств), которые расслаиваются посредством фиксации a=a₀ на 4-мерные параллельные вселенные. Геометрические свойства параллельных вселенных могут, как показано в [9,10], существенно различаться даже в рамках одной стадии lA. О природе, смысле коэффициентов c(lA) поговорим ниже в § 5.

Здесь как раз уместно вспомнить о средах виртуальносй реальности, которые должны возникать при обращении к модели мультиверса, в данном случае к модели Set^{L op}, являющейся генератором виртуальной реальности. Нетрудно понять, что обобщенные элементы
|g⁽⁴⁾(lA)с - это метрики конкретной среды (=гиперпространство) с <<номером>> lA. Другими словами, обращение к изучению любого объекта теории в стадии lA есть не что иное, как переход к одной из сред, входящих в репертуар генератора виртуальной реальности Set^{L op}.

3  Космология Дойча-Гёделя

В качестве примера мультиверса рассмотрим космологическое решение Гёделя [6]:

g(4)ik=a2 ж з з з з з и 1 0 ex1 0 0 -1 0 0 ex1 0 e2x1/2 0 0 0 0 -1 ц ч ч ч ч ч ш

(6)

(g(4))ik=  1 a2 ж з з з з з и -1 0 2e-x1 0 0 -1 0 0 2e-x1 0 -2e-2x1 0 0 0 0 -1 ц ч ч ч ч ч ш

Эта метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна (1) с тензором энергии-импульса пылевой материи

Tik=c2ruiuk,

при условии, что

1 a2 =  8pG c2 r,   L = -  1 2a2 = -  4pGr c2 .

(7)

Если теперь положить

a = a0+d, L = L0+l, r = r0+r,

(8)

где d,l,r О D - инфинитезималы, и подставить в (7), то имеем

1 (a0+d)2 =  1 a02 -  2d a03 =  8pG c2 (r0+r),

2L0+2l = -  1 a02 +  2d a03 ,  L0+l = -  4pGr0 c2 -  4pGr c2 .

Предположим, что a₀,L₀,r₀ связаны соотношениями (7). Тогда из предыдущих равенств находим связь между инфинитезиамалами

l = -  4pG c2 r,   d=-  4pGa03 c2 r.

При интерпретации в гладком топосе Set^{L op} инфинитезимал r О D в стадии lA=C^Ґ(R ^m)/I представляется классом гладких функций вида r(a)mod I, где [r(a)]² О I [7,c.77].

Рассмотрим состояние мультиверса Гёделя, точнее, мультиверса Дойча-Гёделя в стадии lA=lC^Ґ(R )/(a⁴) ⁷. Очевидно, что можно взять инфинитезимал вида r(a)=a². Мультиверс в этой стадии является 5-мерным гиперпространством, слои которого, задаваемые уравнением a=a₀, - параллельные вселенные (среды) R⁴(lA) с метрикой g⁽⁴⁾(lA)=g⁽⁴⁾_ik(x,a), заданной формулами (6) с учетом (8). Плотность материи r = r₀+r(a) начнет расти от классического значения r₀ ~ 2·10^-31 г/см³ до +Ґ при a® ±Ґ. Начинает неограниченно расти до -Ґ и космологическая постоянная. Все это говорит о том, что параллельные вселенные могут иметь физические свойства, совершенно отличные от свойств нашей Вселенной.

В стадии lA=lC^Ґ(R )/(a²)  r(a)=a и r = r₀+r(a)®-Ґ при a® -Ґ, т.е. становится физически неинтерпретируемой, поскольку не ясно, что представляет собой <<экзотическая>> материя с отрицательной плотностью.

Наконец, в стадии 1=lC^Ґ(R )/(a) все r(a)=d(a)=l(a)=0, т.е. имеем дело с классической вселенной Гёделя.

4  Квантовые свойства геометрии параллельных
вселенных

В излагаемой теории мультиверса естественным образом переносятся идеи квантовой геометродинамики Уилера. Так, формула для амплитуды вероятности перехода от 3-геометрии g⁽³⁾ физического пространства к 3-геометрии h⁽³⁾ принимает вид <<двойного>> интеграла Фейнмана по траекториям, которыми являются различные 4-геометрии g⁽⁴⁾:

бg(3)|h(3)с = у х L   D [lA] h(3)(lA) у х g(3)(lA)   D [g(4)(lA)]e [  i/((h/2p) )] S[g(4)(lA)] ,

где

S[g(4)(lA)]=km(lA) у х R 4+m    ж Ц - det ||g(4)(lA)||   R(4)(lA)d4xdma

- действие в пространстве бR ^4+m,g⁽⁴⁾(lA)с.

Как видим, в действительности интеграл Фейнмана по траекториям g⁽⁴⁾ - это бесконечное число интегралов по (4+m)-мерным траекториям g⁽⁴⁾(lA) вида (3).

Повторяя вычисления Уилера, можно оценить квантовые флутуации 4-метрики g⁽⁴⁾® g⁽⁴⁾+Dg⁽⁴⁾, не вносящие искажение в интерференционную картину, задаваемую интегралами по траекториям.

При предположении, что при флуктуациях det||g⁽⁴⁾(lA)|| ~ 1, получаем для искомых флуктуаций в (4+m)-мерной области с размерами L⁴×L₁^m

Dg(4)(lA) ~  L* L ж и  T L1 ц ш [ m/2]   ,

(9)

где

L*=   ж Ц  G(h/2p) c3   ~ 10-33см

- планковская длина и принято, что k_m(lA) ~ c³/((^h/_2p) GT^m), где T [см] - величина, характеризующая <<размеры>> дополнительных измерений.

Из (9) вытекает, что при L ~ L^*, L₁ ~ T все флуктуации Dg⁽⁴⁾(lA) ~ 1, т.е. становятся существенными. Геометрия и топология <<пенятся>> на уровне микромира.

Как показано в [13,14], флуктуации могут иметь место и на макроскопических расстояниях или отрезках времени. Это возможно за счет высших измерений, которые появляются за счет рассмотрения мультиверса в различных стадиях lA, т.е. различных состояний (сред)
R⁴(lA) мультиверса.

5  Электроны-двойники

Дойч предположил, что параллельная вселенная образуется за счет теневых элементарных частиц, сопровождающих каждую реальную частицу. Реальные частицы <<мы можем увидеть или обнаружить с помощью приборов, тогда как вторые (теневые - А.Г.) - неосязаемы (невидимы): их можно обнаружить только косвенно через их воздействие на видимые>> частицы [1,c.48]. <<Между реальными и теневыми фотонами не существует особой разницы: каждый фотон осязаем в одной Вселенной и не осязаем во всех параллелных Вселенных>>.

Уравнение Дирака в СДГ

i(h/2p) g(k)  ¶y ¶xk -mcy = 0

(10)

в пространстве-времени Минковского, т.е. в мультиверсе Дойча-Минковского M⁴ с метрикой, записанной в виде

ds2=dx02-dx12- dx22-dx32

(11)

имеет, например, следующее решение

y(x)= ж з з з з з и   1   1 -1   1 ц ч ч ч ч ч ш e[ mc/((h/2p) )]x2+g(x3+x0)+iq·f(x3+x0),

(12)

которое при q·f(x³+x⁰)=const являтся спинорным духом ⁸, т.е. имеет нулевой тензор-энергии импульса поля y(x)

Tik=  i(h/2p) c 4 м н о y*g(0)g(i)  ¶y ¶xk -  ¶y* ¶xk g(0)g(i)y+y*g(0)g(k)  ¶y ¶xi -  ¶y* ¶xi g(0)g(k)y ь э ю .

(13)

Спинорный дух, как видим, описываемый спинорым полем y, является призрачным, поскольку не обладает ни энергией, ни импульсом. Уместно вспомнить замечание Эйнштейна на соотношение электромагнитного поля и световых квантов (фотонов). <<Эйнштейн считал, что поле <<прокладывает путь>> световым квантам. Эти поля определяют вероятность найти в системе квант, который переносит вдоль заданного пути энергию и импульс. Сами же поля, поскольку они призрачны, не обладают ни энергией, ни импульсом>> [15,c.71-72].

Поскольку духи как спинорное поле не имеют энергии и импульса, то они не могут фиксироваться приборами. Они неосязаемы. Именно поэтому Е.В.Палешева предложила [16] отождествлять спинорные духи с теневыми частицами Дойча.

Решению y можно сопоставить ⁹ дираковский ket-вектор |Yс, представленный в виде суммы ¹⁰

|Yс = у х L   D [lA]a(lA)|Y(lA)с.

(14)

Естественно трактовать y = |Yс. Тогда y^*y = бY|Yс - плотность вероятности электрона и

у х R4  y*yd4x= у х R4  бY|Yсd4x=1.

(15)

Полагая, что

бY|= у х L   D [lB]a*(lB)бY(lB)|.

Поэтому

1= у х R4  бY|Yсd4x = у х R 4  d4x у х L   D [lB] у х L   D [lA]a*(lB)a(lA)бY(lB)|Y(lA)с =

= у х L   D [lB]a*(lB) у х L   D [lA]a(lA) ж и у х R 4  d4xбY(lB)|Y(lA)с ц ш =

= у х L   D [lB]a*(lB) у х L   D [lA]a(lA)d(lB-lA) = у х L   D [lB]a*(lB)a(lB),

где положили (как логическое продолжение равенства (15), что

у х R 4  d4xбY(lB)|Y(lA)с = d(lB-lA),

у х L   D [lB]f(lB)d(lB-lA)=f(lA).

Следовательно,

у х L   D [lA]a*(lA)a(lA)=1.

и вполне разумно допустить, что a^*(lA)a(lA) - это квадрат модуля амплитуды вероятности стадии lA, характеризующий вероятность наблюдения электрона в стадии lA мультиверса M⁴.

Такой вывод позволяет трактовать c^*(lA)c(lA), где c(lA) - комплексные коэффициенты в разложении (5) 4-метрики мультиверса
бR⁴, g⁽⁴⁾с, как вероятность (точнее, квадрат модуля амплитуды вероятности) того, что мультиверс находится в состоянии |g⁽⁴⁾(lA)с ¹¹.

Пусть в выражении для спинорного поля (12) число q = 1-e, где e инфинитезимал, т.е. e О D ={x О R| f(x)=0,  f О m^g_{0}},  m^g_{0} идеал функций, имеющих нулевой росток в 0.

Если e О D, то e в стадии lC^Ґ (R ⁿ)/I задается функцией e(a), a О R ⁿ такой, что для для любой f О m^g_{0}   f(e(a)) О I  [7,c.77].

Имеем

f(e(a))=f(e(0))+ Ґ е |a|=1   1 a! Da(f°e)(0)aa =

= f(e(0))+ Ґ е |a|=1   1 a! ж и |a| е |b|=1  Db f(e(0))Pb(e(0)) ц ш aa,

(16)

где a,b - мультииндексы и P_b - некоторые полиномы.

В стадии lC^Ґ (R ⁿ)   f(e(a)) О I={0} для любой f О m^g_{0}. Поэтому из (16) следует, что прежде всего f(e(0))=0, и, следовательно, e(0)=0. Кроме этого

|a| е |b|=1  Db f(e(0))Pb(e(0))=0.

Но для любой f О m^g_{0}   D^b f(0)=0. Поэтому e(a) произвольная функция, удовлетворяющая условию e(0)=0.

Возвращаясь к полю (12), примем, что q(a)=1-e, где

e(0)=0,   e(a) > 0  при  a № 0,  и e = 1 при ||a|| і r0,

а f некоторая не равная тождественно нулю функция. Тогда в стадии lA=lC^Ґ (R ⁿ) имеем

q(a)=1-e(a)= м н о 0    при ||a|| і r0, > 0 при ||a|| < r0.

Следовательно, в стадии lA=lC^Ґ (R ⁿ) поле y не является спинорным духом в нашей Вселенной (a=0) и во вселенных с ||a|| < r₀, но - дух в параллельных вселенных, для которых e(a) і r₀. Можно взять число r₀ столь малым, что вселенные, <<помеченные>> параметром a с ||a|| < r₀, в силу квантового вспенивания топологии и геометрии, должны рассматриваться как одна вселенная (r₀ - <<толщина>> вселенной). Это означает, что поле y - это реальная частица в нашей Вселенной и теневые частицы-двойники во всех других вселенных.

Если же взять q О D так, что

q(a) > 0  при  ||a-a0|| < r0  и q(a) = 0 при ||a|| > r0,

где a₀ № 0 и r₀ < ||a₀||, то поле y в стадии lC^Ґ (R ⁿ) не является спинорным духом во вселенной a=a₀, имеющей <<толщину>> r₀, и является духом, т.е. теневой частицей-близнецом, во всех других вселенных, включая нашу Вселенную (a= 0).

При этом в стадии 1=lC^Ґ (R ⁰)=lC^Ґ (R )/(a¹)   q·f(x³+x⁰) mod {a¹}=f(x³+x⁰). Это означает, что мы имеем дело с обычной частицей, несущей энергию и импульс.

6  Фотонные духи и фотоны-двойники

Как известно, плоская монохроматическая электромагнитная волна описывается волновым уравнением

1 c ¶ ® A   ¶t =D ® A

и имеет, например, следующий вид

® A   = ® A0   ei(kx-wt).

Електрическая и магнитная напряженности волны равны

® E   =i| ® k   | ® A   ,   ® H   =i[ ® k   × ® A   ].

(17)

Для тензора энергии-импульса волны имеем

Tij=  Wc2 w2 kikj,

где

W= ® E   2   4p

- плотность энергии волны.

Из приведенных формул видно, что если сделать подстановку [(A)\vec]® d[(A)\vec], где d О D, то получим

® E   ® d ® E   Ю ® E   (lCҐ (R )/(a2)) № 0  при a № 0,

тогда как W® d²W=0 и, следовательно, T_ik є 0, т.е. имеем фотонный дух во всех вселенных мультиверса, наблюдаемый в виде электромагнитной волны, не несущей ни энергии, ни импульса во всех мирах, кроме мира с a=0, где ее просто нет.

Рассмотрим теперь число J О R. Пусть в стадии lC^Ґ (R ⁿ)/I оно задается классом функций J(a)\mod I, где

J(a)=e-k|a|2-1,   k > 0.

(18)

Пусть электромагнитное поле

® E   =iJ| ® k   | ® A   ,   ® H   =iJ[ ® k   × ® A   ],    ® A   № 0

получается из (17) подстановкой [(A)\vec]® J[(A)\vec].

Тогда

® E   (lCҐ(R )/(J2)) № 0,

но

Tij=  Wc2 w2 kikj(lCҐ(R )/(J2)) mod (J2)=0.

Иначе говоря, в стадии (среде) lC^Ґ(R )/(J²) во всех вселенных наблюдаюся фотоны-двойники, не несущие ни энергии, ни импульса, т.е. являющиеся фотонными духами.

7  Виртуальные реальности как топосные модели
формального мультиверса

Поскольку <<множество действительных чисел>> R в Set^{L op} не обладает многими привычными свойствами обычных действительных чисел из R , то, пребывая в средах этого генератора виртуальной реальности, мы должны были наблюдать неожиданные или непривычные факты и явления. Некоторые из них были описаны в данной статье.

Топос Set^{L op}, как уже говорилось, не единственная допустимая модель для формальной теории T . Обращение к другим моделям, другим генераторам виртуальной реальности приведет нас к знакомству с другими возможными реальностями, но трудно сказать, какая из них ближе к той, которая носит название окружающая нас физическая реальность.

References

[1]

Дойч Д. Структура реальности. Ижевск: НИЦ <<Регулярная и хаотическая динамика>>, 2001.

[2]

Kock A. Synthetic Differential Geometry. Cambridge Univ. Press, 1981.

[3]

Guts A.K., Grinkevich E.B. Toposes in General Theory of Relativity. - Los Alamos E-print paper: gr-qc/9610073 (1996). - http://xxx.lanl.gov/abs/gr-qc/9610073

[4]

Гуц А.К. Интуиционистская теория пространства-времени // Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. Абрау-Дюрсо. 27 сентября - 4 октября 1996 года.- Ростов-на Дону,1996.- С.87-88.

[5]

Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.

[6]

Gödel K. An Example of a New Type of Cosmological Solution of Einstein's Field Equations of Gravitation // Rev. Mod. Phys. 1949. V.21, No.3. P.447-450.

[7]

Moerdijk I., Reyes G.E. Models for Smooth Infenitesimal Analysis. Springer-Verlag, 1991.

[8]

Квантовая механика Эверетта // Сайт в Интернет http://www.univer.omsk.su/
omsk/Sci/Everett.

[9]

Guts A.K., Zvyagintsev A.A. Interpretation of intuitionistic solution of the vacuum Einstein equations in smooth topos. - Los Alamos E-print Paper: gr-qc/0001076 (2000).

[10]

Гуц А.К., Звягинцев А.А. Решение почтивакуумных уравнений Эйнштейна в синтетической дифференциальной геометрии Кока-Ловера // Математические структуры и моделирование. 2000. Вып.6. C.115-127.

[11]

Гуц А.К., Звягинцев А.А. Интуиционистcкая логика и сигнатура пространства-времени // Логика и приложения. Международ. конференция, посвящ. 60-летию Ю.Л.Ершова. Тезисы докладов. - Новосибирск: Ин-т дискрет. мат-ки и информатики, 2000. С.38-39.

[12]

Гуц А.К. Многозначная логика и многовариантный мир // Логика и приложения. Международ. конференция, посвящ. 60-летию Ю.Л.Ершова. Тезисы докладов. - Новосибирск: Ин-т дискрет. мат-ки и информатики, 2000. С.36-37.

[13]

Guts A.K. Interaction of the Past of parallel universes. - Los Alamos E-print Paper: physics/9910037 (1999).

[14]

Гуц А.К. Модели многовариантной истории // Математические структуры и моделирование. 1999. Вып.4. С.5-14.

[15]

Белокуров В.В., Тимофеевская О.Д., Хрусталев О.А. Квантовая телепортация - обыкновенное чудо. Ижевск: R & C Dynamics, 2000.

[16]

Palesheva E.V. Ghost spinors, shadow electrons and the Deutsch Multiverse. - Los Alamos E-print paper: gr-qc/0108017 (2001).

Footnotes:

¹Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 01-01-00303 - теоретическая часть).

²Мы приводим только часть аксиом. Другие аксиомы см. в [7,Гл.VII].

³Иначе говоря, исчезающих в некоторой окрестности точки 0.

⁴Это предположение автор услышал от А.А.Звягинцева.

⁵Multiverse - много (multi-) вселенных (universe); причем universe - одна (uni) вселенная. Другой не мыслили, и это отразилось в языке.

⁶Дираковские обозначения: |Pс = y(x)с є y(x); в данном случае y(x) - это g⁽⁴⁾ (представитель состояния |Pс), а |Pс - это |g⁽⁴⁾с [5,c.111-112].

⁷Через (f₁,...,f_k) обозначается идеал кольца C^Ґ (R ⁿ), порожденный функциями f₁,...,f_k О C^Ґ (R ⁿ), т.е. имеющий вид е_i=1^kg_if_i, где g₁,...,g_k О C^Ґ (R ⁿ) - произвольные гладкие функции.

⁸Данное решение найдено Е.В.Палешевой.

⁹См. примечание 5.

¹⁰Приводимая формула и придаваемый ей в этой статье смысл имеет прямое отношение к эвереттовской трактовке квантовой механики [8].

¹¹Метрика - это гравитационное поле, определяющее геометрию и в определенной мере топологию пространства-времени. Поэтому естественно отождествлять состояние (среду) мультиверса |R⁴(lA)с в стадии lA (см., например, рис.1) с состоянием 4-метрики |g⁽⁴⁾(lA)с.