"Математика и практика. Математика и культура".
Под ред. М.Ю.Симакова, В.Н.Чубарикова. М., 2001. С. 60-69.

ЧИСЛО, ВРЕМЯ, СВЕТ

(Алгебраическая динамика и физическая картина Мира)

Владимир В. Кассандров

(Российский Университет дружбы народов, Москва,

117419, Орджоникидзе, 3, e-mail: )

  1. Введение.

    2. Целью настоящей статьи является попытка обратить внимание (и продемонстрировать на примере развиваемого автором алгебродинамического подхода) на новые взаимоотношения математики с естественными науками, прежде всего - с фундаментальной теоретической физикой. Эти отношения, возникающие на наших глазах, до конца еще не осознаны ни чистыми математиками, ни теоретиками, ни философами науки. По существу речь идет о (понимаемой в современном смысле) идеологии неопифагореизма, в которой математика из "служанки", понукаемой потребностями естественных наук, становится их "госпожой", диктующей истинный вид законов природы и расшифровывающей происхождение и смысл (алгебраический, геометрический, топологический) уже открытых законов.

    Яркие представители этого направления, испытавшего расцвет в эпоху античности (Пифагор, Платон, Плотин), на самом деле присутствовали во все исторические периоды [2], начиная от первобытных времен и кончая такими выдающимися мыслителями, как У.Гамильтон, В.Клиффорд, А.Эддингтон, Г.Вейль, П.А.М.Дирак и (во второй половине жизни) А.Эйнштейн. Их взгляды не являлись господствующими в естественнонаучной среде и в философии: напротив, все основные достижения последних столетий скорее можно связать с галилеевско-ньютоновской парадигмой научного познания (опыт-гипотеза-опыт-закон-опыт), нашедшей свое логическое завершение в агрессивно-позитивистской философии квантовой теории. Однако именно их идеи, их мечты о существовании некоего Метазакона, положенного Творцом в основу Мироздания, их глубокая убежденность в изначальном единстве мира и в нашей способности абсолютного его познания задавали тот масштаб научного творчества, сохраняли те высокие идеалы, которые не позволили безвозвратно затащить науку в болото феноменологии и голой схоластики.

    Сегодня пришло время "собирать камни". Виднейшие теоретики после более чем полувекового перерыва вновь обращаются к основаниям физики, пытаясь из самых общих соображений определить и понять истинную размерность пространства-времени, происхождение Стандартной модели и безразмерные "магические числа" (константы взаимодействия и отношения масс микрочастиц и т.п.).

    В математике, с другой стороны, все чаще встречаются взгляды на абстрактные структуры, естественно возникающие в рамках различных формализмов, не как на некую "игру ума", а как на объективные сущности, которые c неизбежноcтью имеют прямое отношение к реальности окружающего мира. Об изменениях отношения взгляда математиков на собственную деятельность и на отношения с естественными науками свидетельствует, в частности, и известная полемика В.И.Арнольда с представителями "школы Н.Бурбаки" [1].

    Однако, несмотря на несколько более демократичную и творческую обстановку, сложившуюся в современной физике и математике, кардинального прорыва к новому пониманию природы пока не просматривается. Ныне господствующие в физике представления и парадигмы возведены в догму и считаются не подлежащими радикальному пересмотру, а лишь уточнению при непременном условии соблюдения т.н. принципа соответствия, т.е. полного восстановления прежней теории из новой в результате некоторой процедуры предельного перехода. Лишь единицы из ведущих физиков-теоретиков, "угробивших" всю жизнь на развитие общепринятого формализма, имеют мужество допустить, что этот самый формализм может не иметь ничего общего с истинным языком и законами природы.

    Полностью отсутствует понимание того, что общепринятые в настоящее время представления, концепции, уравнения в принципе не могут быть достоверны, поскольку получены в результате "детских игр", своего рода "мозгового штурма" естествоиспытателей по поиску наилучшего описания некоторой совокупности установленных на опыте фактов. При этом ответ не может быть единственным (поскольку на самом деле неизвестно, при каких условиях, "связях" ищется решение "задачи оптимизации"). Только гениальная интуиция великих мыслителей прошлого позволяет надеяться, что выработанный ими язык фундаментальной физики может в какой-то мере (и не более того!) оказаться адекватным действительному "Коду природы".

    Интересно отметить, что сами творцы-создатели никогда не рассматривали обнаруженные ими новые возможности описания природных явлений как единственно верные (так, В.Гейзенберг долгое время сомневался в матричной механике и в трактовке принципа неопределенности, см. [3], А.Эйнштейн всегда был готов заменить риманову модель пространства-времени другой, в частности, геометрией абсолютного параллелизма [4], Поль Дирак никогда не рассматривал свое уравнение как единственно возможное описание "состояний электрона" и т.п.). В догму сформулированные ими гипотезы-теории возводили уже их последователи, неспособные, как правило, к генерированию собственных идей.

    Психологические аспекты отрицания большинством научного сообщества возможности полной ревизии сложившихся представлений вполне понятны и в известной мере являются охранительными. Однако объективно эти взгляды именно сейчас все заметнее начинают играть реакционную роль, тормозя развитие радикально новых подходов. Дело в том, что в настоящее время внутри самой науки (как математики, так и теоретической физики) накоплен огромный потенциал идей и методов, который может оказаться основой ее внутренней революции. Физика выросла из пеленок и, используя богатство новых структур, открытых современной математикой (теорию особенностей, алгебраическую геометрию и топологию, нелинейную динамику и синергетику и др.), готова совершить качественный скачок и превратиться из описательной, "констатирующей" науки в своего рода новую Метафизику, объясняющую происхождение и смысл основных структур и объектов, составляющих физическую реальность. Манифестом этого нового направления развития физики можно считать известные слова А.Эйнштейна (см. [4], С.245): "…мы хотим не только знать, как устроена природа (и как происходят природные явления), но и по возможности достичь цели, может быть утопической и дерзкой на вид, - узнать, почему природа является именно такой, а не другой".

    Для автора, получившего т.н. "классическое" университетское образование, столь радикальная концепция ранее не являлась близкой. Постепенный переход к ней произошел после знакомства со структурами типа исключительных алгебр (типа алгебр кватернионов и октонионов), фрактальными отображениями, теорией особенностей и исключительными простыми группами. Богатство возможностей и внутренняя красота этих и других аналогичных структур поражают и составляют разительный контраст с теми, уже порядком "заезженными" (а часто и математически некорректными) процедурами (вариационная задача, коммутационные соотношения, интегрирование по путям), которые использует современная теоретическая физика (причем использует непоследовательно, эклектически смешивая классические геометрические и формальные квантовые представления). Сам факт существования таких исключительных абстрактных структур заставляет задуматься, не они ли лежат в основе Бытия, не в их ли внутренних свойствах закодирован алгоритм эволюции и cвойства Вселенной, вплоть до самих понятий времени, материи и сознания?

    В 1980 году автором было предложено определение дифференцируемости функций кватернионного переменного, явно (и, по-видимому, впервые) учитывающее определяющее свойство алгебры кватернионов Q - их некоммутативность. Как следствие, Q-обобщенные уравнения Коши-Римана (ОКР) оказались существенно нелинейными. При расширении Q до алгебры B комплексных кватернионов (бикватернионов) уравнения ОКР становились лоренц-инвариантными.

    Совокупность этих и других интересных внутренних свойств первичных условий ОКР наводила на естественную мысль попытаться рассматривать эти уравнения как основу некоторой единой алгебраической теории поля. Программа построения такой теории, получившей название алгебродинамики, и предварительные результаты реализации такого подхода в алгебре B были представлены в монографии [5] и в статьях [6-8] (там же имеются ссылки на более ранние работы).

    Ниже, в разделе 2, мы представляем сводку этих результатов. Несколько подробнее в разделе 3 рассматривается необычная геометрическая "картина" физического пространства-времени и материи, к которой приводят первичные уравнения ОКР в алгебре B. Главными образующими элементами этой картины служат изотропные геодезические конгруенции - пучки прямых в 3-мерном физическом пространстве, вдоль которых для каждого из решений уравнений ОКР происходит "перенос" основных B-полей с одной и той же фундаментальной скоростью (скоростью света). Что касается материи, то вся она порождается самими прямолинейно движущимися "световыми элементами" и представлена каустиками (т.е. местами самопересечения, "уплотнения") лучей основной конгруенции.

    В разделе 4 обсуждаются представления о времени, возникающие при рассмотрении фундаментальных световых конгруенций, и связь этих представлений с работами других авторов. Подчеркивается фундаментальная роль твисторной структуры уравнений B-ОКР. Обсуждаются также следующие из основных уравнений связи между поступательным и внутренним вращательным движением частиц-каустик и ограничения скорости их трансляционного движения “скоростью света”. В заключение, в разделе 5, мы вновь возвращаемся к проблеме взаимоотношений физики и математики и, уже с учетом расмотренной реализации алгебродинамики, формулируем общие положения "неопифагорейского" подхода к построению фундаментальных физических теорий - подхода радикально нового для современной физики и, как представляется, наиболее перспективного и даже неизбежного в будущем.

  2. Алгебраическая теория поля на основе B-обобщениых уравнений

Коши-Римана (уравнений B-ОКР).

В развитой на основе B-ОКР версии алгебродинамики физические поля рассматриваются как B-дифференцируемые функции бикватернионного переменного (аналог C-аналитических функций), а сами условия дифференцируемости - как единственные первичные уравнения полевой динамики. При этом никаких дополнительных постулатов (лагранжиана, правил квантования и т.п.) математического или физического характера не делается, т.е. свойства уравнений ОКР и их решений-полей изучаются сами по себе, вне какой-либо физической феноменологии!

Как ни странно, оказалось, что рассматриваемые B-поля обладают многими знакомыми из физики свойствами, в том числе естественной 2-спинорной и калибровочной структурами. Более того, условия интегрируемости уравнений ОКР влекут за собой тождественное выполнение уравнений Максвелла и Янга-Миллса на их решениях. Структура этих уравнений оказывается также тесно связанной с исключительной геометрией Вейля-Картана, с изотропными геодезическими конгруенциями и, через них, - с римановыми метриками типа Керра-Шилда, определяющими основные физически важные решения уравнений Эйнштейна- Максвелла в ОТО. Как следствие ОКР, каждая спинорная компонента основного B-поля удовлетворяет, кроме того, релятивистски-инвариантному уравнению 4-эйконала (нелинейному аналогу уравнения Лапласа в случае коммутативной C-алгебры).

Исключительно важную роль имеет обнаруженная связь уравнений B-ОКР с твисторами - геометрическими объектами, введенными в физику Р. Пенроузом [9] и, нестрого говоря, представляющими собой пары 2-спиноров, связанных между собой и с точками пространства Минковского линейным образом (через т.н. соотношение инцидентности, см. раздел 3). Наличие твисторной структуры у уравнений ОКР позволило получить их общее (аналитическое) решение, сведя их к решению чисто алгебраических уравнений, геометрически определяющих гладкие поверхности в проективном твисторном пространстве СР3.

Редукция уравнений ОКР к алгебраическим позволило простым образом генерировать достаточно сложные их решения, а также и сопоставляемые им решения известных уравнений поля, в том числе уравнений Максвелла, Эйнштейна и Янга-Миллса. При этом сингулярности электромагнитного и метрического полей соответствуют точкам пространства-времени, в которых корни генерирующих алгебраических уравнений становятся кратными. Причем структура сингулярного множества может быть весьма сложной, состоящей из большого числа связных компонент разных размерностей (пространственно 0-, 1- или 2-мерных); множество общего положения - одномерно ("струны").

Такая общая для всех основных полей, определяемых решениями ОКР, сингулярная структура в случае ее ограниченности в 3-пространстве естественно определяет некоторый частицеподобный объект, а динамические перестройки этой структуры могут интерпретироваться как взаимопревращения частиц. При этом никаких трудностей принципиального характера (расходимостей, нарушений причинности и т.п.), связанных с сингулярным характером отвечающих частицам решений уравнений ОКР, в рассматриваемом подходе не возникает, поскольку как "форма" сингулярного образования, так и его динамика однозначно следуют из самих уравнений ОКР.

Еще одним определяющим свойством исходных уравнений ОКР является их существенная переопределенность. Как следствие этого, далеко не каждое решение уравнений Максвелла или Янга-Миллса отвечает какому-либо решению для первичных B-полей. На этом пути возникают некие "правила отбора" для типов и характеристик решений уравнений калибровочных и метрического полей, ассоциированных с решениями уравнений ОКР. В частности, для всех решений допустимые значения электрического заряда сингулярных образований либо равны по модулю некоторому минимальному (элементарному), либо целократны ему!

Отметим, что идея объясненения дискретного спектра характеристик частиц как следствия переопределенности и нелинейности описывающих их классических уравнений поля принадлежит, судя по всему, А.Эйнштейну, и получила название сверхпричинности [10]. В рассматриваемом подходе концепция сверхпричинности проявляется не только в квантованности значений электрического заряда, но и в нетривиальной динамике сингулярных частицеподобных образований, моделирующей их взаимодействие и взаимопревращения. Действительно, несмотря на тождественное выполнение линейных уравнений Максвелла во всем пространстве-времени (кроме сингулярного подмножества меры нуль), принцип суперпозиции здесь, разумеется, не выполняется в силу нелинейности и переопределенности исходных уравнений ОКР. Заметим, что в отличие от стандартных схем типа нелинейной электродинамики мы имеем здесь ситуацию, близкую к концепции т.н. "скрытой нелинейности", развиваемой в ряде современных работ [11].

Фундаментальное (стационарное, аксиально-симметричное) решение уравнений B-ОКР (модель электрона?) имеет кольцеобразную сингулярность и отвечает наименьшему возможному (элементарному) электрическому заряду, а в остальном является полным аналогом решения Керра-Ньюмена (КН) в ОТО. Из сопоставления с ним это решение наделяется массой и спином, причем из ОТО известно, что гиромагнитное отношение для решения КН имеет значение, соответствующее дираковской частице! Т.о. решение КН правильно воспроизводит все основные характеристики электрона, а в нашем подходе к тому же фиксирует значение его заряда.

Примеры нетривиальной топологической структуры и динамики cингулярных частицеподобных образований приведены и обсуждаются в работах [12-14]. Помимо фундаментального "керровского" было найдено, в частности, бисингулярное решение с ЭМ-полем, воспроизводящим известное решение Борна для равноускоренно движущегося заряда (величина которого, однако, здесь квантована и равна заряду фундаментального решения!). Особенный интерес представляет его комплексная, электрически нейтральная модификация с кольцеобразной сингулярностью, перестраивающейся в тор [13]. Обнаружены также решения, не обладающие аксиальной симметрией [14]. Затетим, что к настоящему времени уже получены решения с намного более сложной, многосингулярной структурой, явным образом и на классическом уровне описывающие процессы аннигиляции, рождения пар, поглощения/испускания сингулярных волновых фронтов, процессы "распада".

В завершение краткого обзора основных полученных к настоящему времени результатов подчеркнем еще раз, что все они являются непосредственным следствием одной лишь структуры уравнений B-ОКР и имеют чисто алгебраическую природу. Однако, с другой стороны, свойства и роль возникающих в алгебродинамике аналогов известных физических структур существенно и неожиданно отличаются от этих последних. Помимо необычной роли уравнений Максвелла ("нелинейность без нелинейности") и обнаружения у них широкого класса сингулярных решений с автоматически квантованными (за счет механизма “скрытой нелинейности”) значениями заряда можно еще отметить:

а) новый вид калибровочной инвариантности, имеющей место для уравнений ОКР (т.н. "слабой", с калибровочным параметром, зависящим от координат лишь через компоненты преобразуемого решения, см.[12,13]);

б) новую форму представления уравнений Максвелла через т.н. условия "комплексной самодуальности" [12,15], сводящие их решение к решению 3-х уравнений 1-го порядка по электромагнитным потенциалам;

в) новую концепцию источников физических полей, связанную с рассмотрением сингулярностей полей как точек ветвления отвечающих им (производящих) многозначных комплексных функций и обобщающую принятую в настоящее время концепцию d -образного источника [14] (см. также [16-18]) и др.

Все эти неожиданные и интересные физические представления в алгебродинамике не привносятся извне, а генерируются внутренними свойствами самой абстрактной математической структуры, положенной в основу рассмотрения. Мы вернемся к рассмотрению этих вопросов в заключительном разделе, а теперь перейдем к несколько более подробному обсуждению представлений о свете и материи и времени, возникающих при анализе свойств и решений уравнений B-ОКР.

3. Алгебраически генерируемые физические поля и частицы-особенности.

Основные условия B-дифференцируемости В-значных функций F: В® В бикватернионного (B-) переменного ZО В имеют вид [5,13,15]:

, (1)

где (* ) – умножение Bґ B® B в алгебре бикватернионов (изоморфной полной алгебре комплексных 2ґ 2 матриц); F ,Y : B® B - т.н. полупроизводные основной функции F(Z) (см. подробнее [13,15]). Ограничиваясь рассмотрением подпространства эрмитовых матриц Z® X, Xє X+ (с индуцированной определителем псевдоевклидовой метрикой Минковского) и наиболее важного исследованного случая пропорциональности одной из полупроизводных, например Y (Z), основной функции F(Z), редуцируем условия (1) к лоренц-инвариантной системе уравнений вида

dx =F * dX* x , (2)

где x (X) – один из столбцов матрицы компонент основной функции F(X). Т.о. каждой паре {F (X),x (X)}, удовлетворяющих (переопределенной) системе уравнений (2), соответствует некоторое решение основных условий B-дифференцируемости (1). По своим трансформационным свойствам эти величины представляют собой комплексное 4-векторное и 2-спинорное поля соответственно. При этом компоненты матрицы F , интерпретируемые как 4-потенциалы, определяют напряженности (С-значного) электромагнитного поля, которые вследствие условий интегрируемости (2) тождественно удовлетворяют в регулярной области однородным уравнениям Максвелла (см. подробнее [5,15]).

Для простоты в дальнейшем именно эти редуцированные уравнения (2) будем называть B-обобщенными уравнениями Коши-Римана (уравнениями B-ОКР). Компоненты матрицы полупроизводной F (т.е. электромагнитные потенциалы) могут быть алгебраически выражены из уравнений (2) через компоненты основного спинора x и их производные; для последних получим тогда нелинейные уравнения (аналог уравнений Коши-Римана в комплексной алгебре) [12,15], общее (аналитическое) решение которых может быть представлено в неявном виде как решение системы двух алгебраических уравнений

(3)

где P (С), C=1,2 - две (произвольные независимые) голоморфные функции 4-х комплексных аргументов - 2-х компонент спинора x и 2-х компонент спинора

, (4)

инцидентного x . Здесь эрмитова матрица X = X+ = {u, w // w* v } = {ct + z, x-iy //x + iy, ct-z} представляет собой спинорный аналог 4-вектора координат хm .

Разрешая (в неособых точках) систему уравнений (1) относительно компонент спинора x для произвольно выбранных генерирующих функций P (С), получаем полевое распределение x (u,w,w* ,v)=x (x,y,z,t). При этом каждая спинорная компонента полученного решения будет тождественно удовлетворять уравнению эйконала, а их отношение - линейному волновому уравнению [12,13].

Для отношения спинорных компонент G(u,w,w* ,v) система (3) еще более упрощается, редуцируясь к одному алгебраичеcкому уравнению вида

(5)

где два последних аргумента представляют собой компоненты спинора t = Xx , инцидентного спинору x ={1,G}. Отметим, что в работе [12] получено явное представление для спинора электромагнитного поля F(AB), сопоставляемого решениям уравнений ОКР или, соответственно, - решениям алгебраического уравнения (5):

(6)

где , а символами , А,В=1,2 обозначены производные функции P по (твисторным) аргументам t 1 и t 2 соответственно. Замечательно, что для любой генерирующей функции определеленные таким образом напряженности электромагнитного поля тождественно удовлетворяют (в области регулярности) вакуумным уравнениям Максвелла!

С другой стороны, из (5) следует, что сингулярности электромагнитного поля соответствуют условию обращения в нуль полной производной

(7)

определяющему геометрическое место точек, в которых уравнение (5) имеет кратные корни. Пусть в каждый конечный момент времени структура сингулярного множества (7) компактна (ограничена в 3-пространстве); тогда такое решение определяет некоторый частицеподобный объект - источник поля. Определим электрический заряд такого сингулярного образования обычным образом, т.е. через поток вектора электрической напряженности поля через замкнутую поверхность, окружающую сингулярность. В работах [5,15] показано, что при этом заряд любого решения уравнения (5), определяемый через напряженности (6), либо равен нулю, либо целократен по модулю некоторому минимальному (элементарному). Т.о. сама по себе простая алгебраическая конструкция, задаваемая соотношениями (5), (6) генерирует решения уравнений Максвелла с квантованными значениями сингулярных источников!

Заметим, что попытки рассматривать частицы как особенности решений дифференциальных уравнений, в том числе уравнений Максвелла, предпринимались еще в начале века, в частности Г.Бейтманом (см.[20]). Л. де Бройль пытался дать классическое объяснение корпускулярно-волновому дуализму частиц в рамках своей концепции "двойного решения" (особенность, движение которой "гидируется" регулярной и стохастически изменяющейся частью полевого распределения). В последнее время концепция частиц как особенностей развивается А.М.Виноградовым [16,17] (в рамках т.н. "вторично квантованного" дифференциального исчисления ).

Вообще в физике уже почти 100 лет имеет место парадоксальная ситуация, когда с одной стороны, основным объектом исследования остается модель точечной d -образной частицы, ответственная, как принято считать, за все трудности квантовой теории поля (расходимости, нарушения причинности и т.п.). С другой стороны, методы работы с сингулярными объектами, принятые в физике, оказались совершенно некорректными , как это становится очевидным по мере развития, например, теории катастроф. В частности, оказалось, что само понятие источника поля, определяемое в физике через обобщенные d -функции, является далеко не самым общим и физически интересным: современная теория дифференциальных уравнений приводит вместо этого к неизбежному введению глобально многозначных решений, являющимся для нелинейных уравнений естственным аналогом решений, представляемых обобщенными функциями [17,18]. Отметим, что в рамках развиваемого алгебродинамического формализма многозначные решения возникают изначально как различные ветви комплекснозначных решений неявного алгебраического уравнения (5).

Опрелелим теперь на решениях уравнений ОКР, задаваемых (5), действительное единичное векторное поле (поле направлений) с компонентами

, (8)

для которого дифференцированием уравнения (5) по координатам получим уравнение

(9)

означающее, что вектор переносится вдоль прямых, определяемых его собственным направлением в каждой точке 3-пространства, с фундаментальной и всюду постоянной скоростью "скоростью света" с. С точки зрения псевдоевклидовой 4-геометрии пространства Минковского мы имеем дело с изотропными геодезическими конгруенциями - пучками прямых, плотно заполняющими пространство-время.

Условие (7) кратности корней уравнения (5) отвечает каустикам, т.е. огибающим системы лучей конгруенции. Именно на "протяженных фокусах" - каустиках обращается в бесконечность напряженность электромагнитного поля (6), и, таким образом, именно (ограниченные в пространстве) каустики являются моделью частиц в данном подходе, обладая квантованным электрическим зарядом и динамикой, определяемой видом регулярной части соответствующей световой конгруенции. Естественно предположить, что в таком случае известная классификация каустик как особенностей дифференцируемых отображений [19] может иметь непосредственное отношение к классификации элементарных частиц!

На самом деле представление о зарядах как о фокальных точках некоторых световых конгруенций возникает уже в классической электродинамике. Действительно, поле движущегося по некоторой траектории точечного заряда (потенциалы Лиенара-Вихерта) генерируется "кулоновским" полем этого заряда в предшествующем его положении, распространяющимся с фундаментальной скоростью и достигающим точку наблюдения к данному моменту времени. Более того, конгруенции, образуемые световыми конусбми излучения заряда, составляют специальный класс т.н. бессдвиговых изотропных конгруенций (см. например [9], глава 7) и могут быть все получены как решения алгебраического уравнения (5).

Эта конструкция допускает важное обобщение. Оказывается, что большое число физически важных решений (5) возникает при формальном рассмотрении точечного заряда, движущегося по некоторой комплексной кривой в полном комплексифицированном пространстве Минковского CM. Комплексный световой конус "излучения" такого заряда образует на вещественном срезе CM - физическом пространстве-времени световые конгруенции, каустики которых имеют уже не точечную, а гораздо более сложную структуру [21,22] (состоящую в общем случае из большого числа связных компонент различных размерностей). В частности, "керровское" кольцо радиуса a, соответствующее решению уравнения (5) вида

, (10)

и генерирующееся квадратичной и независящей от времени функцией (5) вида

,

где , , образуется "комплексно-радиальной" световой конгруенцией точечного заряда, покоящегося в "смещенной" в область комплексных координат точке пространства. В силу стационарности решения (10) даже трехмерные конгруенции, определяемые векторным полем (8), являются прямолинейными.

Как уже упоминалось выше, важной особенностью рассматриваемых решений является их глобальная многозначность. В частности, "керровское" решение (10) двузначно, и на самом деле мы имеем здесь дело с двумя пучками прямых, вдоль которых происходит перенос поля. Каждая конгруенция определена лишь локально, так что при обходе сингулярного кольца происходит переход на другую ветвь.

Таким же многозначным образом ведет себя и электромагнитное поле, ассоциированное с решениями уравнения (5). Если, однако, ограничиться рассмотрением частицеподобных решений с компактными сингулярностями, то всегда возможно окружить их, например, сферами соответствующих радиусов и однозначно определить после этого поле и конгруенцию во внешней области. Физически это соответствует естественному запрету прохождения внутрь частицеподобных образований и в случае одномерных замкнутых особенностей по сути эквивалентно процедуре проведения разреза через некоторую "минимальную" поверхность, ограниченную сингулярным контуром (для "керровского решения" - через плоскость кольца).

С другой стороны, глобальная неоднозначность даже таких физически определенных величин, как напряженность электромагнитного поля, показывает, что истинными физическими объектами в данном подходе являются только сами частицы - сингулярности, поскольку их форма, "квантовые числа" и временная эволюция однозначно определяются структурой решения (выбором генерирующей функции P ). Что касается полей, то они в силу многозначной структуры являются в некотором смысле вторичными, хотя и определяют по существу структуру частиц как собственных сингулярностей.

То же самое можно отнести и к фундаментальным световым конгруенциям (8), каустики которых порождают рассматриваемые частцеподобные образования. Эти конгруенции можно рассматривать как некоторый первичный ("предвечный") свет, "предсвет", ненаблюдаемый сам по себе (???), но порождающий основные частицеподобные элементы в местах "сгущения" своих лучей, т.е. на каустиках и из каустик. Представления о светоносном эфире и о рождающейся из света материи, неизбежно возникающие при анализе исходной алгебраической (числовой) структуры, вызывают даже ассоциации с библейскими и другими древними верованиями. Наверняка многие теологи, философы и мистики приходили к подобным картинам Мира, однако исторические вопросы требуют отдельного рассмотрения. Из известных же автору идейно близких физических работ отметим статью М.М.Смолянинова [23] (гипотеза о существовании однородной светоносной среды и индуцируемыми ею и процедурами синхронизации различными эффективными геометриями пространства-времени), а также работы Л.С.Шихобалова [24] (концепция лучистой частицы, фактически порождаемой световой конгруенцией).

4. "Предсвет" как время-генерирующий поток. Частицы-каустики как часы. Спин и предельная скорость.

Существование универсального эффекта “переноса” поля с постоянной фундаментальной скоростью c для каждого из решений основной системы уравнений B-ОКР c самого начала определяет разницу в статусе временнуй и пространственных координат и позволяет по-новому подойти к проблеме физического времени в целом.

Действительно, со времен объединения Г.Минковским в 1908 году пространства и времени в единый пространственно-временной континуум с псевдолевклидовой геометрией прошло уже почти 100 лет. Этот синтез, с другой стороны, "затушевал" принципиальную разницу временнуй и пространственной сущностей и мало помог пониманию таких фундаментальных проблем, как природа направления и необратимости времени, его локальности (глобальности), (не)зависимости хода времени от материальных процессов, T-(не)инвариантности фундаментальных уравнений и т.п. В ОТО для учета специфики временнуй координаты уже давно используется т.н. “3+1 расщепление” геометрии пространственно-временного многообразия (хроногеометрия систем отсчета [25,26]).

Очевидно, однако, что все эти методы являются не более, чем паллиативой. На самом деле, решение многих из этих важнейших вопросов можно было бы найти уже давно, используя и развивая гениальную догадку Р. Пенроуза о твисторной структуре физического пространства-времени [9,27]. Согласно ей, видимая геометрия определяется существованием более простой и естественной первичной комплексной геометрии пространства твисторов {}, связанных соотношением инцидентности (4) с точками физического пространства-времени Минковского M, которое становится тем самым вторичным, со свойствами (в том числе и времени), определяемыми первичной геометрией твисторного "предпространства".

Как ни странно, этот выдающийся физик и геометр не довел свою схему до уровня простых и наглядных физических представлений, так что твисторы для большинства физиков до сих пор остаются математически достаточно сложным и искусственно вводимым объектом. В рамках же рассматриваемой здесь реализации твисторы оказываются связанными с первичной алгебраической структурой и возникают совершенно естественно при интегрировании уравнений B-ОКР.

Действительно, при фиксированных компонентах твистора {}, удовлетворяющих как следствие эрмитовости матрицы X=X+ координат M дополнительному условию "нулевой нормы"

из основного соотношения инцидентности (4) пространственные координаты определяются через временную переменную t , остающуюся произвольной, следующим образом :

, (11)

где (- матрицы Паули), а единичный вектор в калибровке спинора совпадает с определенным ранее вектором (8) и определяет направление переноса поля твисторных компонент. Т.о. наличие твисторной структуры у физических уравнений предопределяет "излучательную" структуру всех его решений и, наряду с формальным сохранением релятивистской инвариантности, естественно реализует схему “3+1 расщепления”, выделяя (достаточно простую и геометричную) эволюцию полевых распределений во времени по отношению к (весьма разнообразным и сложным) распределениям поля в 3-пространстве, т.е дает прямое указание на особую роль времени в теории.

Возникающая картина весьма впечатляет и хорошо коррелирует с неоднократно высказывавшимися предположениями о существовании некоторого материального носителя, определяющего течение времени, особенно с концепцией А.П.Левича о время-генерирующем потоке. "Пространство есть среда, состоящая из предэлементов", - пишет он в статье [28], - "…Время вселенной порождается некоторым генерирующим потоком предэлементов одного из довольно глубоких уровней иерархии. … Источники вхождения во вселенную (или стоки из нее) генерирующего потока отождествляются с заряженными частицами мира". В рамках нашего подхода такой субматериальный время-генерирующий поток можно естественно связать с "потоком" прямолинейно распространяющихся "элементов" фундаментальных полей - "предсветовых" лучей, а электрические заряды - "источники" и "стоки" потока времени - с каустиками световых конгруенций, являющимися сингулярностями ассоциированного электромагнитного поля и несущими квантованный по величине заряд.

Существование однородного светоносного эфира, образуемого пучками прямолинейных траекторий движущихся со скоростью c элементов поля, определяет единый, равномерный и необратимый ход "космического" времени. При этом каждая точка "предматерии", принадлежащая одной из частиц-каустик, становится естественными универсальными часами, отсчитывая промежутки времени по "количеству" прошедших мимо нее "элементов" поля. В каждой из инерциальных систем отсчета ход времени не зависит от распределения материи и одинаков во всем пространстве!

Таким образом, рассматриваемый здесь подход во многом сближается с т.н. реляционной концепцией времени, предполагающей, что время полностью определяется физической материей. “Естественно ожидать”, - пишет Л.С.Шихобалов [29], - “что в такой теории время будет выражаться через какие-то характеристики процессов, происходящих в физических системах. Но тогда само понятие процесса должно быть определено до введения представления о времени и независимо от него. … Совершенно не ясно, как это можно сделать.” Положенные в основу теории твисторные переменные и отношения между ними, задаваемые функциональными зависимостями типа (1),(2), как раз и позволяют, через соотношение инцидентности (4), реконструировать физический процесс, эволюцию во времени и саму геометрию пространства-времени и, по сути, определить как таковое само физическое время .

Заметим, что идейно такой подход близок и к развиваемой в работах Ю.С.Владимирова концепции бинарной геометрофизики [30], в которой как динамика частиц, так и геометрия пространства-времени является следствием лишь некоторых фундаментальных отношений между "предматериальными" объектами (интерпретируемыми как “in-out” состояния "предчастиц").

На примере "керровского" частицеподобного решения с кольцевой сингулярностью рассмотрим теперь, каким образом феномен переноса поля с универсальной скоростью c совместим с возможностью движения каустик-частиц со скоростями, отличными от скорости света. Совершая преобразование буста в направлении оси симметрии OZ над фундаментальным решением (10), получим новое решение с сингулярным кольцом того же радиуса (т.е. поперечные размеры остаются неизменными), плоскость которого перемещается параллельно оси OZ со скоростью . При этом через каждую точку кольца проходит один из лучей образующей конгруенции, причем легко показать, что угол наклона a луча к плоскости кольца одинаков для всех точек и равен . Разложение полной скорости c переноса поля через каждую точку кольца дает тогда две составляющие: трансляционную v, определяющую поступательное движение кольца как целого, и внутреннюю вращательную u, причем имеем

.

В частности, для покоящегося кольца происходит перенос поля вдоль кольца (по касательной в каждой точке) со скоростью света, т.е. покоящаяся каустика-частица с необходимостью должна обладать внутренним вращением. В рамках ОТО это вращение сингулярного кольца решения Керра-Ньюмена естественно связано с полным моментом количества движения - спином частицеподобного образования, пропорциональным радиусу кольца.

Для каустики-частицы, движущейся со скоростью, близкой к c, скорость вращения u уменьшается и стремится к нулю при . Что касается тахионных решений, то в данной модели они просто не могут реализоваться, поскольку структура сингулярности при бусте с параметром изменяется качественным образом и становится некомпактной, а ассоциированное с таким решением электромагнитное поле не имеет уже электрического заряда и представляет собой сингулярный волновой фронт, скорость распространения которого опять-таки оказывается равной (а не большей!) с (см., например, [1]).

Таким образом, твисторная "предгеометрия" совместно с естественно порождаемой ей структурой каустик-частиц приводит к некоторым общим заключением о характере движения последних, а именно 1) о запрете сверхсветовых скоростей и о взаимно дополнительном характере поступательного и вращательного движений и 2) о неизбежности существования внутреннего вращения со скоростью c (спина) для всех устойчивых каустик-частиц.

Мы ограничим этим рассмотрение общих физических свойств частиц, вытекающих из их интерпретации в качестве каустик. Повторим лишь, что классификация каустик и волновых фронтов, интенсивно развивающаяся сейчас в рамках теории катастроф и ее обобщений [19], может иметь прямое отношение к классификации элементарных частиц и объяснению спектра их характеристик.

  1. Основные принципы "неопифагорейского" подхода к построению физических теорий.

В предыдущих разделах было показано, что чисто абстрактная математическая структура (в данном конкретном случае – структура “аналитических” функций в алгебре комплексных кватернионов B) однозначно ведет к представлениям о некотором мире локализованных (в “предпространстве”) и изменяющихся (в “предвремени”) сингулярных частицеподобных образований. Во многих отношениях этот виртуальный мир, целиком закодированный в единственном инвариантном 4-х символьном соотношении (1), удивительно напоминает реальный. Более того, возникающие при рассмотрении этого соотношения вторичные математические структуры (твисторная, калибровочная, самодуальная, риманова, струнная и т.п.) оказываются как раз теми фундаментальными структурами, которые используются в современной теоретической физике для описания наблюдаемых свойств элементарных частиц и их взаимодействий. Аналогичным образом и характеристические уравнения этих структур, возникающие как прямое следствие первичных уравнений В-дифференцируемости, представляют собой в основном известные уравнения физических полей.

Однако отношения между этими структурами и их внутренние связи оказываются далеко не тождественными известным из формализма квантовой теории и ОТО, а во многих случаях представляются совершенно неожиданными, математически красивыми и более адекватными наблюдаемой физике (как, например, в случае естественно возникающего квантования электрического заряда). Тем самым внутренняя структура исходных уравнений, казалось бы не предполагающая никакой связи с физической реальностью, открывает совершенно новые возможности для ее описания даже в рамках общепринятой гносеологической парадигмы.

Пока что, разумеется, нет никаких оснований считать, что рассмотренная модель – это “истина в последней инстанции”, дающая полное и описание физической реальности на основе единого общего принципа, т.е. что, иначе говоря, наш Мир есть комплексно-кватернионное многообразие с динамикой, полностью определенной структурой аналитичности в этой алгебре. Более того, требование аналитичности или даже гладкости является весьма жестким ограничением с точки зрения математики и, возможно, должно быть исключено вообще. Однако как пример возможностей принципиально нового подхода к построению физических теорий рассмотренная реализация может считаться вполне успешной и даже впечатляющей. На этой основе мы в заключение и сформулируем главные принципы общей “неопифагорейской” программы в том виде, как она представляется в настоящее время.

  1. В основе Природы лежит некоторый первичный Принцип (Код, Алгоритм, Метазакон), имеющий чисто абстрактное математическое происхождение. Все известные т.н. “законы природы”, полученные из эксперимента, либо являются прямыми следствиями этого единственного исходного принципа либо вообще не имеют отношения к правильному описанию природы и лишь случайно приближенно выполняются при определенных условиях.

  2. В современных условиях новые эксперименты мало что могут добавить к нашему пониманию окружающего мира. Фундаментальные законы природы следует изучать не в лаборатории (в экспериментах с частицами), а главным образом “на бумаге” (ставя “эксперименты” над самими математическими структурами (В.И.Арнольд, см. [1])). При этом может оказаться, что господствующие физические теории и представления (даже такие красивые, как ОТО) не имеют никакого отношения к реальности, и о принципе соответствия в принятом в настоящее время смысле вообще придется забыть.

  3. В основании первичного Принципа и, как следствие, устройства Вселенной лежит некоторая объективно существующая математическая структура (скорее всего, числовая или/и логическая), исключительная по своим внутренним свойствам. Вселенная представляет собой своего рода реализацию (“материализацию”) этой первичной структуры.

  4. Каждая математическая структура является является в каком-то смысле объективно существующей и соответствует некоторому отвечающему только ей “миру”. Однако большинство таких структур и соответствующие им “миры” являются, скорее всего, вырожденными. Только одна уникальная структура кодирует наш мир вплоть до структуры возникающего в нем наблюдателя (это есть своего рода математическая версия известного антропного принципа), и задача состоит в ее нахождении и исследовании. Тем не менее, нельзя исключить, что существует несколько (или даже бесконечно много) исключительных структур, генерирующих “параллельно сосуществующие” миры. На сегодняшнем уровне понимания говорить об их возможных взаимоотношениях (взаимодействиях) преждевременно.

  5. Одним из признаком уникальности и невырожденности первичной структуры является, по-видимому, множество эквивалентных способов (разнообразие языков) ее описания. Например, исключительная алгебраическая структура, положенная в основу “метатеории”, должна порождать исключительную геометрию пространства-времени, соответствовать уникальной топологии, иметь необычную группу автоморфизмов и т.п. При этом, наоборот, можно исходить из любой из вышеперечисленных структур, индуцирующих остальные свойства. Первичная фундаментальная структура есть некоторая абстрактная сущность, допускающая большое количество эквивалентных математических описаний и соответствующих им физических интерпретаций).

  6. При выборе кандидата на роль первичной структуры нельзя ограничиваться известным и используемым в физике набором (дифференциальные уравнения, расслоенные пространства, риманова геометрия и т.п.). Не следует и навязывать природе своих физических представлений (пространство-время как многообразие, калибровочные поля как переносчики взаимодействий, корпускулярно-волновой дуализм и вероятностная квантовая парадигма и т.п.). Только не связывая себя заранее догмами ортодоксальных теорий можно надеяться обнаружить принципиально новые, истинные способы описания природы, закодированные в первичной структуре. В шутку можно сказать, что законы Природы должны открывать математики, не знающие физики. Говоря же всерьез, следует опираться только на наиболее общие и неконкретные свойства окружающего нас Мира – например, на факт существования нескольких классов тождественных по внутренним свойствам объектов (частиц, кварков, субкварков – не важно!), обладающих способностью к объединению (слиянию, взаимодействию) и образованию иерархий по отношению к разным пространственно-временным масштабам.

  7. Изначально имеет смысл предполагать также, что первичная физика должна быть существенно нелокальной, и именно глобальные свойства пространства-времени и глобальную динамику ("сверхпричинные глобальные корреляции") должна в первую очередь кодировать первичная структура! Действительно, существующая локальная физика возникла просто как результат ограничения человеческой практики и экспериментов чрезвычайно малыми по размерам и длительности областями. С точки зрения математики и философии общего "пифагорейского" подхода очевидно, что основным языком физики должен быть язык топологии, отображений и функциональных уравнений (подробнее см. статью автора [34], раздел 3).

  8. После выбора кандидата на роль первичной структуры ее анализ, прочтение ее свойств должно проводиться жестким дедуктивным путем и, в частности, исключить всякую возможность введения в схему феноменологических, подгоночных параметров "для лучшего описания наблюдаемых закономерностей". В противном случае мы никогда не поймем истинный язык Природы! Математические свойства положенной в основу первичной структуры должны быть прослежены до такой стадии, когда физическая интерпретация возникающих абстрактных структур и характеристических уравнений станет самоочевидной (хотя, возможно, и не единственной, см. пункт 5). При отсутствии возможности естественной идентификации внутренних свойств структуры с физической реальностью следует не "улучшать" или "добавлять", а полностью менять исходную структуру и повторять исследования с другим кандидатом.

В заключение хотелось бы отметить, что предлагаемый радикально новый подход к построению физических теорий на первых порах может оказаться практически малоэффективным и неблагодарным. Действительно, даже "угадав" исключительную первичную структуру, положенную Творцом в основу Мироздания (а, скорее всего, лишь приблизившись к ее пониманию), трудно надеяться сразу же воспроизвести всю эффективную феноменоменологию описания природы, которая была создана (и продолжает созидаться, в том числе в рамках суперструнной парадигмы) поколениями выдающихся ученых (в частности, понять происхождение Стандартной модели или вывести из абстрактной схемы превосходящую ее по эффективности описания альтернативную модель). Не следует поэтому на первых порах и требовать от подобных общих подходов каких-то новых предсказаний, проверяемых экспериментально. Всему свое время. Наше глубокое убеждение, основанное на уже реализованной и представленной выше алгебродинамической схеме, состоит в том, что именно понимаемая в современном смысле (и не имеющая ничего общего с примитивной нумерологией) "пифагорейская" философия позволит совершенно по-новому взглянуть на природу физических законов и на роль фундаментальной математики в их структуре. В конце концов, только и именно такой подход и способен приблизить нас к пониманию истинного Плана Творца.

Литература.

  1. Арнольд В.И. // Успехи мат. наук, 53, (1998), 229; Успехи физ. наук, 169, (1999), 1311
  2. Симаков М.Ю. Пифагорейская программа. - М., изд-во "Диалог МГУ", 1997
  3. Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое. - М., "Наука", 1989. С.218
  4. Эйнштейн А. Полное собрание сочинений. Т.2. - М., "Наука", 1966. С.286
  5. Кассандров В.В. Алгебраическая структура пространства-времени и алгебродинамика. - М., изд. РУДН, 1992
  6. Kassandrov V.V. // Gravit. & Cosmol. (Moscow), 3, (1995), 216; (Preprint gr-qc / 0007027)
  7. Kassandrov V.V. // Acta Applic. Math., 50, (1998), 197
  8. Kassandrov V.V. // В сб. "Квазигруппы и неассоциативные алгебры в физике", ред. Лыхмус Я.К., Кууск П. - Таллинн, ИФ АН Эстонии, вып. 66, (1990), с. 202
  9. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Т.2. - М., "Мир", 1988
  10. Эйнштейн А. Полное собрание сочинений. Т.4. - М., "Наука", 1967. С.109
  11. Ranada A.F., Trueba J.L. // Phys. Lett., 202A, (1995), 337; 235A, (1997), 25.

    12. Ranada A.F. // An. Fis. (Madrid), A87, (1991), 55; (Preprint hep-th / 9802166)

  12. Kassandrov V.V., Rizcalla J.A. // Preprint gr-qc / 0012109
  13. Кассандров В.В., Ризкалла Ж.А. // В сб. "Новейшие проблемы теории поля", ред. Аминова А. В. Казань, изд. КГУ, 1998. C. 176; (Preprint gr-qc / 9809078)
  14. Kassandrov V.V., Trishin V.N. // Gravit. & Cosmol. (Moscow), 5, (1999), 272 ( Preprint gr-qc / 0007026)
  15. Кассандров В.В. // Вестник РУДН, сер. Физика, 8(1), (2000), 36
  16. Vinogradov A. M. // J. Geom. Phys., 14, (1994), 146 (см. перевод: приложение к книге "Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики". - М., "Факториал", 1980. С.207)
  17. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. - М., "Наука", 1986.
  18. Лычагин В.В. // В сб. "Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т.20." - М., ВИНИТИ, 1980.
  19. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. Том 1,2. - М., "Наука", 1982,1984

    20. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов.- М., "Фазис", 1996

  20. Бейтман Г. Математическая теория распространения электромагнитных волн. - М., ГИФМЛ, 1958
  21. Newman E.T. // J. Math. Phys., 14, (1973), 102;

Lind R.W., Newman E.T. // J. Math. Phys., 15, (1974), 1103
  1. Burinskii A.Ya., Kerr R.P., Perjйs Z. // Preprint gr-qc / 5901012
  2. Смолянинов М.М. // Успехи физ. наук, 170, (2000), 1064
  3. Шихобалов Л.С. // Вестник СПбГУ, Cер.1, вып.3, (1997), 109; вып.4, (1999), 118
  4. Зельманов А.Л. // Доклады АН СССР, 107, (1956), 815;

    5. Зельманов А.Л., Агарков В.Г. Элементы общей теории относительности. - М., "Наука", 1989. Часть IV.

  5. Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. - М., "Энергоиздат", 1982
  6. Penrose R., MacCallum M. A. H. // Phys. Rep. C, 6, (1973), 241
  7. Левич А.П. // В сб. "Конструкции времени в естествознании: на пути понимания феномена времени.", ред. Левич А.П. - М., изд-во МГУ, 1996. С.276; 279
  8. Шихобалов Л.С. // Вестник СПбГУ, отд. РАЕН, №1 (4), (1997), 369
  9. Владимиров Ю.С. Реляционная теория пространства-времени и взаимодействий. Часть I, II. - М., изд-во МГУ, 1996, 1998.
  10. Кулаков Ю.И. Элементы теории физических структур. - Новосибирск, изд. НГУ, 1968; Доклады АН СССР, 201, (1968), 570
  11. Carter B. Phys. Rev., 174, (1968), 1559
  12. Хокинг С. Черные дыры и молодые вселенные. - СПб, "Амфора", 2001. C.139
  1. Кассандров В.В. // В сб. "Взаимосвязь физической и религиозной картин мира. Физики-теоретики о религии.", ред. Владимиров Ю.С. - Кострома, 1996. С.138
  2. Дмитриевский И.М. Новая фундаментальная роль реликтового излучения в физической картине мира. - // "Полигнозис", 2000, № 1
  3. Шелаев И.А. Введение в необратимую электродинамику. - Дубна, 1999

37 Милнор Дж. Голоморфная динамика. - Ижевск, "R&C Dynamics", 2000

Пайтген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. - М., "Мир", 1993

 

 

Abstract

The Ultimate physical theory should be based on of some exeptional mathematical structure, whose properties fully encode physical reality. Peculiar features of such approach (which claims to revive Pythagorean philosophy) are illustrated in the framework of the algebraic field theory ("algebrodynamics"). In it, the basic field equations follow only(!) from the "generalized Cauchy-Riemann equations" (GCRE) for the functions of quaternion-type variable and appear to be nonlinear, over-determined and gauge invariant. Purely mathematical properties lead directly to some general conclusions about particles (as caustics of the light congruences arising from GCRE), their properties (e.g., existence of the elementary electric charge and spin), as well as about the nature of time and Lorentz-invariant "aether". In conclusion, some general principles of the new approach to the construction of fundamental physical theories are formulated.