МОДЕЛИРОВАНИЕ «ДИНАМИЧЕСКИХ МНОЖЕСТВ»
А.П.Левич
Единственный открытый для теоретика путь построения формальной теории состоит в подборе математической структуры, удачно описывающей интересующий исследователя фрагмент реальности. Да и сама математика, по словам многоголового автора эпохи Н.Бурбаки [1] представляет собой переплетение нескольких математических структур – алгебраической, топологической и структуры порядка. До самого недавнего времени наиболее общими рамками (явно сформулированными или неявно предполагавшимися) теоретического описания систем были рамки теории множеств – любой объект исследований должен принадлежать некоторому множеству. Это приносило до сих пор, скажем, в физике и химии положительные результаты, поскольку в таких областях становилась автоматически применимой вся основанная на теории множеств математика. Но насколько концептуальная база теории множеств достаточна для построения теории любых систем?
Язык теории множеств, на мой взгляд, встречается с трудностями при моделировании меняющихся систем или, другими словами, при попытках моделирования феномена "неуловимости" течения времени (что не безобидно, поскольку «Границы моего языка означают границы моего мира» [2]). Для меняющихся систем в различные моменты времени не выполняется аксиома экстенсиональности, требующая, в частности, тождественности множества самому себе. Возможно, для более содержательного моделирования времени следует подумать об аксиоматическом введении особых "динамических множеств", примерами которых являются такие открытые к изменениям совокупности, как популяции организмов в биосфере, словари языков, совокупности мыслеобразов в человеческом сознании и т.п.
Я готов привести физический пример динамического множества. Речь идет о метаболической модели заряженных частиц материи [4-7]. Заряд в модели – это источник (или сток) истечения дискретных элементов гипотетической субстанции. Под субстанцией подразумеваю материальную сущность, которая обладает иным бытийным статусом, нежели вещество, состоящее из нуклонов и электронов. Заряды-источники есть сингулярности субстанции. В модели предполагается существование субстанции нескольких типов, что порождает существование зарядов различных типов.
Метаболическая модель заряда может быть интерпретирована как модель фундаментальной изменчивости, порождающей течение времени в мире. Модель превращает заряд в метаболические часы [8-10], "тикающие" с частотой "излучения" зарядом частиц субстанции.
Излучающие субстанцию заряды порождают модель метаболического пространства – совокупности излученной зарядами субстанции. Если постулировать существование элементарного расстояния между излучаемыми частицами субстанции, то шлейфы испущенных зарядами частиц превращаются в «метаболические линейки», позволяющие измерять протяженность в пространстве. Накапливание субстанции в метаболическом пространстве может быть интерпретировано как его расширение. Размерность пространства может быть отождествлена с количеством типов субстанции, излучаемой различными типами зарядов.
Движение в метаболическом пространстве ("метаболическое движение") происходит не путем "раздвигания" элементов субстанции, а путем их замены в системе, а именно, путем "вхождения" в систему одних "точек" метаболического пространства и "выхода" других. Поскольку субстанция, имея иной бытийный статус, не взаимодействует с "частицами-зарядами" и, проникая в результате метаболического движения "сквозь" "весомую материю", состоящую из этих частиц-зарядов, не вызывает эффектов трения и сопротивления (в обычном их понимании), то она не является эфиром XIX века, "обдувающим" тела или "увлекаемым" ими. В понятийном аппарате естествознания наиболее близкими к субстанции являются понятия пространства, поля, физического вакуума или, что еще точнее, космического вакуума Эйнштейна-Глинера [3].
Заряд – это сингулярный источник вместе со шлейфом излученных частиц субстанции. Такой заряд обладает свойствами квантовой, а не классичекой частицы [6,7]. Он не точечен, а протяжен (т.е. нелокален) как в пространстве, так и во времени. Шлейф субстанции, испущенной зарядом, распространяясь в метаболическом пространстве, может быть представлен как "метаболическая волна" – прообраз волны де Бройля. Излучение и поглощение субстанции источниками и стоками способно породить обменный механизм взаимодействий. Разности фаз между испусканиями частиц субстанции различных типов могут быть интерпретированы как спины зарядов…
Излучающие субстанцию "метаболические" заряды представляют собой один из примеров динамических множеств, каковыми являются открытые и в силу этого изменяющиеся системы. Скорее всего, формальные конструкции, позволяющие корректно описывать такие множества, существуют, и я был бы благодарен читателям, подсказавшим мне нужные ссылки.
Мой вариант формализации представлений о динамических множествах использует аксиоматику теории категорий и функторов [11,12]. Если в теории множеств конструкция отображения, или функции является производной и вспомогательной по отношению к самим множествам, то в теории категорий преобразования объектов (объекты – аналоги множеств) входят в аксиоматическое определение категории наравне с объектами. Более того, объекты оказываются частным, предельным случаем преобразований. Таким образом, при категорно-функторном описании систем акцент переносится с "застывших", "мертвых" состояний объектов на различные формы их движений и преобразований. Предметом исследования становятся не столько состояния систем, сколько совокупности их преобразований (вспомним, что именно такая черта, как постоянное обновление, смена, преобразование составляющего субстрата, обязательна для всех изменяющихся систем).
Класс объектов ObS категории S объединяет все потенциально возможные реализации некоторой математической структуры. (На языке теории систем – это класс всех допустимых состояний системы, или её "категорное время" [12]. Последовательность реальных состояний системы – "траектория" в пространстве состояний – названа её системным временем.) И если объекты категории есть структурированные множества, то класс ObS формально не является множеством, но может быть назван динамическим множеством, так как удовлетворяет предъявленным мной выше интуитивным о нём представлениям. Таким образом, динамическое множество есть класс множеств – всех реализаций некоторой математической структуры, моделирующей изучаемую систему.
Теория категорий и функторов находит применение в теории систем, биологии, экологии, науках гуманитарного цикла. В 1990 году появилась пионерская работа по применению теории категорий для описания физических взаимодействий [13]. В последние годы возникла уверенность в незаменимости методов теории категорий для современной квантовой механики [14].
Работа поддержана грантами РФФИ (проект 08-06-00073а) и РГНФ (проект 06-03-00163а).
1. Н.Бурбаки Архитектура математики // Очерки по истории математики. М.: Мир, 1963. С. 245–259.
2. Л.Витгенштейн. Логико-философский трактат. 1921
3. И.В.Архангельская, И.Л.Розенталь, А.Д.Чернин. Космология и физический вакуум. М.: КомКнига, 2006. 216 с.
4. A.P.Levich. Generating Flows and a Substantional Model of Space-Time // Gravitation and Cosmology. 1995. V.1. №3. Pp. 237-242.
5. А.П.Левич. Моделирование природных референтов времени // Необратимые процессы в природе и технике. Сборник научных трудов. Часть 1. М.: МГТУ им. Баумана, ФИАН, 2007. С. 154-158.
6. А.П.Левич. Модель частиц, порождающая пространство-время и становление // Основания физики и геометрии. М.: РУДН, 2008. С. 153-188.
7. А.П.Левич. Моделирование природных референтов времени: метаболическое время и пространство // На пути к пониманию феномена времени: конструкции времени в естествознании. Часть 3. Методология. Физика. Биология. Математика. Теория систем. М.: Прогресс-Традиция, 2008.
8. А.П.Левич. Метаболическое время естественных систем // Системные исследования. Ежегодник.1988. М.: Наука, 1989. С. 304-325.
9. A.P.Levich. Time as variability of natural systems: ways of quantitative description of changes and creation of changes by substantial flows // On the Way to Understanding the Time Phenomenon: the Constructions of Time in Natural Science. Part 1. Interdisciplinary Time Studies. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 1995. Pp.149-192.
10. A.P.Levich. Paradigms of natural science and substantial temporology // The Nature of Time: Geometry, Physics and Perception. Eds.: R. Buccheri, M. Saniga, M. Stuckey. Kluwer Academic Publishers: Boston, Dortrecht, London, 2003. Pp.427-435.
11. А.П. Левич. Теория множеств, язык теории категорий и их применение в теоретической биологии. Учебное пособие. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. 190 с.
12. А.П. Левич. Поиск законов изменчивости как задача темпорологии // На пути к пониманию феномена времени: конструкции времени в естествознании. Часть 3. Методология. Физика. Биология. Математика. Теория систем. М.: Прогресс-Традиция, 2008.
13. И.Л. Герловин. Основы теории взаимодействий в веществе. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 432 с.
14. В.Coecke. Introducing categories to the practicing physicist // Препринт arXiv: 0808.1032 (7 August 2008).