© Д.Г.Павлов

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана, НИИЭМ, Москва, Россия
E-mail:

На основе финслеровой метрической функции Бервальда-Моора предлагается модель реального пространства-времени, по сути представляющая собой чистое четырёхмерное время. Показано, что физическое пространство-время со свойствами близкими псевдоевклидовым возникает в данной модели, как следствие процедуры обмена изотропными сигналами между различными системами отсчета и особенностями принятой финслеровой метрики. Введены понятия относительной одновременности, трёхмерного расстояния и модуля скорости, согласующиеся как с классическими, так и с релятивистскими представлениями о физической реальности.

Как известно [1], двухмерная псевдоевклидова плоскость чисто формально имеет несколько качественно различных способов обобщения на четырехмерное пространство. В результате одного из них получается пространство Минковского, в результате другого – псевдоевклидово пространство с сигнатурой (+,+,-,-), а результатом третьего является специфическое линейное пространство, длина векторов которого в одном из базисов удовлетворяет соотношению:

|X|⁴=x₁'x₂'x₃'x₄'. (1)

Соответствующее пространство условимся называть квадрачисловым или квадрапространством.

На первый взгляд квадрапространство не согласуется с обычными представлениями о геометрии реального мира хотя бы потому, что все его единичные вектора абсолютно равноправны, изотропное подпространство не обладает круговой симметрией, а группа непрерывных линейных преобразований, аналогичных преобразованиям Лоренца, вместо шести, определяется всего тремя параметрами. Однако, не стоит спешить с выводами, поскольку перед нами представитель весьма экзотического класса пространств, именуемых финслеровыми, совершенно не похожий на обычные псевдоевклидовы пространства, а потому требующий принципиально иного подхода.

Надо отметить, что финслерова геометрия, появившаяся как обобщение римановой, известна давно и исследовалась во многих работах. В том числе, хорошо известны и метрические функции типа (1), которые получили имя Бервальда-Моора [1]. Однако, как ни странно, геометрия наиболее простых финслеровых многообразий, напрямую связанных с понятием линейного пространства, изучена скорее поверхностно. По-видимому, данное обстоятельство обусловлено отсутствием вплоть до последнего времени удобных и эффективных методов их исследования, например таких, как формализм скалярного произведения, обычно применяемого при изучении евклидовых и псевдоевклидовых геометрий. В работе [2] предпринята попытка заполнить данный пробел и введено понятие m-линейной симметрической формы от n векторов, обобщающей понятие билинейной симметрической формы. Там же показано, что пространству с метрической функцией (1) соответствует четырехлинейная симметрическая форма от четырех векторов A,B,C и D, которая в наиболее удобном базисе имеет вид:

(A,B,C,D)=1/24Σa_i′b_j′c_k′d_q′, при i≠j≠k≠q. (2)

Подставляя в данную форму четыре раза один и тот же вектор А, мы по аналогии с билинейными пространствами получаем четвертую степень его длины:

(A,A,A,A)=|A|⁴=a₁′a₂′a₃′a₄′,

что совпадает с приведённым выше выражением (1).

В квадрапространстве существуют шестнадцать примечательных векторов e₁-e₁₆, имеющих в базисе, в котором записана форма (2), следующие компоненты:

e₁↔(1, 1, 1, 1); e₅↔(-1,-1,-1,-1);

e₂↔(1,-1, 1,-1); e₆↔(-1, 1,-1, 1);

e₃↔(1, 1,-1,-1); e₇↔(-1,-1, 1, 1);

e₄↔(1,-1,-1, 1); e₈↔(-1, 1, 1,-1);

(3)

e₉↔( 1,-1,-1,-1); e₁₃↔(-1, 1, 1, 1);

e₁₀↔(1, 1,-1, 1); e₁₄↔(-1,-1, 1,-1);

e₁₁↔(1,-1, 1, 1); e₁₅↔(-1, 1,-1,-1);

e₁₂↔(1, 1, 1,-1); e₁₆↔(-1,-1,-1, 1).

Эти вектора интересны тем, что своим примером демонстрируют новое качество взаоимоотношения направлений, не встречающееся в пространствах с билинейной формой, и которое выступает своеобразным обобщением свойства ортогональности.

Действительно, если в билинейном пространстве для двух векторов имелась только одна возможность обнуления формы (A,B), в квадрапространстве аналогичных вариантов уже три:

(A,B,B,B)=0; (*)

(A,A,B,B)=0; (**)

(A,A,A,B)=0. (***)

Непосредственными подстановками компонент векторов e_i (3) в (2) можно убедиться в том, что каждый из векторов данного множества одному противоположен, с шестью образует пары удовлетворяющие тождествам (*) и (***), а c восьмью – удовлетворяющие (**). Таким образом, понятие, обобщающее для квадрапространства свойство ортогональности (в теории финслеровых пространств его иногда называют трансверсальностью), перестаёт быть однозначным. Кроме того, оно теряет и коммутативность, поскольку не для всякой пары векторов выполняется равенство (A,B,B,B)=(A,A,A,B). Базис, состоящий из векторов одной из сгруппированных внутри множества (3) четверок, является аналогом ортонормированного, и в нем метрическая функция квадрапространства принимает, хотя и более сложный, чем (1), но все же, достаточно красивый вид:

|X|⁴=x₁⁴+x₂⁴+x₃⁴+x₄⁴– 2(x₁²x₂²+x₁²x₃²+x₁²x₄²+x₂²x₃²+x₂²x₄²+x₃²x₄²)+ 8x₁x₂x₃x₄. (4)

Данная форма иногда может оказаться полезной, в частности, при сравнениях с пространством Минковского, интервал которого принято записывать в единичных и ортогональных друг другу векторах.

Поскольку основная идея данной работы состоит в том, чтобы попытаться построить финслерову модель пространства-времени, совместимую как с классическими, так и релятивистскими представлениями, логично определить для квадрапространства обычные физические понятия максимально близко к тому, как те вводятся в пространстве Минковского. Поэтому, как и в специальной теории относительности (СТО), под точкой кавдрапространства будем понимать некоторое событие. Направленные неизотропные прямые отождествим с мировыми линиями инерциальных систем отсчета (ИСО). Каждой паре точек на мировых линиях ИСО поставим в соответствие действительное число, которое, как и в СТО, условимся называть интервалом. При этом четвертую степень интервала между двумя событиями свяжем с координатами соответствующих точек выражением, вытекающим из (1):

|S|⁴=(x₁'-y₁')(x₂'-y₂')(x₃'-y₃')(x₄'-y₄'),

|dS|⁴=dx₁'dx₂'dx₃'dx₄'.

В базисе аналогичном ортонормированному дифференциал интервала принимает вид:

|dS|⁴=dx₁⁴+dx₂⁴+dx₃⁴+dx₄⁴– 2(dx₁²dx₂²+dx₁²dx₃²+dx₁²dx₄²+dx₂²dx₃²+dx₂²dx₄²+dx₃²dx₄²)+ 8dx₁dx₂dx₃dx₄. (5)

Самой величине дифференциала интервала припишем физический смысл собственного времени, прошедшего в некоторой системе отсчёта между двумя бесконечно близкими событиями.

Поскольку выше нами принята аксиома о соответствии интервала квадрапространства собственному времени в инерциальной системе отсчёта, а все трансверсальные координаты входят в выражение для интервала (5) равноправно, у нас нет ровно никаких оснований противопоставлять одно направление трём другим, как это, например, было характерно для пространства Минковского. По сути, это означает, что рассматриваемое пространство практически так же равноправно по всем своим направлениям, как и евклидово. Некоторое отличие, правда, имеется и связано оно с наличием в квадрапространстве изотропных векторов, отсутствующих в евклидовых геометриях. Философски из равноправности линейных координат квадрапространства и их общей связи с понятием собственного времени следует, что перед нами образец не столько пространства, или пространства-времени, сколько чистого многомерного времени.

Из формулы (1) следует, что в квадрапространстве имеются четыре трёхмерные гиперплоскости, все вектора которых соответствуют нулевому значению интервала. Такие гиперплоскости удовлетворяют уравнениям:

x'₁=0; x'₂=0; x'₃=0; x'₄=0. (6)

Принадлежащие им вектора, по аналогии с пространством Минковского, будем называть изотропными. Изотропные гиперплоскости пересекаются по шести двухмерным плоскостям. Те, в свою очередь, пересекаются по четырём прямым линиям. С последними естественно попытаться связать некий специальный базис. Этим базисом как раз и является тот, в котором выше была приведена метрическая функция (1). В связи с единственностью и объективной выделенностью данного базиса, условимся называть его абсолютным.

Изотропные гиперплоскости (6) разделяют все квадрапространство на 16 односвязных областей, представляющих собой четырехгранные пирамиды, с одной стороны открытые в бесконечность, а с противоположной - обладающие общей вершиной. Такие пирамиды будем называть световыми. Каждая из световых пирамид имеет по четыре ребра, являющихся полупрямыми осей координат абсолютного базиса, в связи с чем, соответствующие области могут однозначно характеризоваться знаками ограничивающих их полуосей. Все световые пирамиды имеют хотя бы один общий изотропный вектор со всеми другими за исключением противоположной, с которой общей является только одна точка. Условные оси симметрии световых пирамид совпадают по направлениям с рассмотренными выше шестнадцатью единичными векторами e₁-e₁₆ (3). Таким образом, каждая световая пирамида имеет одну противолежащую и четырнадцать трансверсальных ей пирамид. Описанные свойства односвязных областей квадрапространства определяют шестнадцатеричность его дискретных симметрий.

Чтобы наглядно представлять себе структуру изотропных поверхностей квадрапространства, обратимся к рис.1, на котором в изометрии изображено трехмерное сечение одной из шестнадцати световых пирамид. Для сравнения, на рис.2 изображено аналогичное сечение светового конуса будущего пространства Минковского.

Рис. 1. Световая пирамида будущего квадрапространства	Рис. 2. Световой конус будущего пространства Минковского

Кстати любопытно отметить, что в пространстве Минковского существуют изотропные вектора, образующие базисы, в чём-то аналогичные абсолютному базису квадрапространства. Классическая квадратичная форма пространства Минковского в этих базисах принимает вид:

|X|²=x₁'x₂'+x₁'x₃'+x₁'x₄'+x₂'x₃'+x₂'x₄'+x₃'x₄',

что выглядит довольно необычно, зато в чем-то напоминает вид метрической формы квадрапространства (1).

Четыре боковые грани световой пирамиды представляют собой трёхмерные изотропные гиперплоскости, от которых на рис.1 из-за подавления координаты x₄ остались только плоскости. Любую прямую, проходящую через начало отсчёта и принадлежащую такой грани, можно интерпретировать как траекторию светового луча, в полной аналогии с изотропным конусом пространства Минковского. Изотропное подпространство, окружающее каждую пирамиду, не обладает круговой симметрией в евклидовом смысле этого слова. Поэтому на первый взгляд кажется, что скорость света в квадрапространстве просто обязана зависеть от направления. Однако парадокс ситуации заключается в том, что, имея дело с финслеровыми пространствами, нельзя автоматически переносить на них опыт, полученный при изучении билинейных геометрий. Во всяком случае, квадрапространство таково, что направления всех изотропных векторов в нем абсолютно равноправны. Тот факт, что некоторые из них лежат на гранях, как вектор A, а некоторые на рёбрах, как вектор B – всего лишь издержки применяемого способа изображения. В данном случае сказывается то обстоятельство, что мы в силу естественных причин, вынуждены финслерово пространство моделировать с помощью евклидовых представлений, в результате чего, и возникают определенные перекосы. Хорошо известно, что, когда аналогичный приём используется при изображении псевдоевклидовой плоскости на евклидовом листе бумаги, в расчёт принимаются только общие для обоих пространств аффинные свойства. Таким образом, не смотря на, казалось бы, очевидную неравноправность изотропных векторов квадрапространства, реализуется как раз обратное, откуда, в свою очередь, следует равенство его световых скоростей во всех направлениях.

Если в дополнение к сказанному имеющиеся в квадрапространстве непрерывные линейные преобразования инвариантные к его интервалу интерпретировать, как переходы от одной инерциальной системы отсчета к другой, можно утверждать, что в этом пространстве, как и в пространстве Минковского, скорость света не зависит от точки расположения, направления движения и величины скорости наблюдателя. Таким образом, метрика квадрапространства совершенно не противоречит качественным результатам опытов Майкельсона-Морли, которые в свое время и послужили одним из основных толчков к созданию СТО.

Замечательной особенностью квадрапространства, самым выгодным образом отличающей его от пространства Минковского, является возможность установления взаимооднозначного соответствия с коммутативно-ассоциативной алгеброй и связанными с нею гиперкомплексными объектами [2], которые условимся называть квадрачислами. Квадрачисла можно получить, рассматривая алгебру двойных чисел над кольцом их же самих, или, если так можно выразиться, учетверяя поле действительных чисел. По своей алгебраической структуре квадрачисла устроены тривиально, что, по-видимому, и явилось основной причиной почти полного отсутствия интереса к ним со стороны математиков. Однако, такое пренебрежение этими объектами представляется не совсем оправданным, особенно если смотреть на них, имея в виду, объективные особенности связанного с ними финслерова пространства и процедуру перехода от геометрических к физическим координатам.

В квадрапространстве существует группа непрерывных линейных преобразований, оставляющих инвариантным его интервал. Данное обстоятельство позволяет такие преобразования относить к конгруэнтным и называть движениями. Группа движений квадрапространства является аналогом десятипараметрической группы Пуанкаре пространства Минковского, однако, в отличие от неё определяется семью независимыми параметрами. При этом четыре параметра отвечают за параллельный перенос, а три - за гиперболические повороты. Вспоминая, что масштабное преобразование, или другими словами растяжение, также имеет гиперболический характер, к семи параметрам конгруэнтных преобразований имеет смысл добавить еще один - коэффициент растяжения. Полученную таким образом восьми-параметрическую систему, назовем расширенной группой. Она распадается на две четырёхпараметрические подгруппы – переносы и гиперболические преобразования с неподвижной точкой. Количественное равенство свободных параметров этих двух типов преобразований и их полное соответствие двум арифметическим операциям с квадрачислами (сложению и умножению) говорит о фундаментальности именно расширенной, а не обычной группы движений.

Одним из кажущихся недостатков квадрапространства является отсутствие среди его движений пространственных поворотов, имеющихся в группе Пуанкаре пространства Минковского. Правда, совершенно замечательным образом в квадрапространстве реализуется трехпараметрическая группа нелинейных преобразований, оставляющих инвариантным значение специальной симметрической формы двух векторов [3]. Именно таким, или подобным им преобразованиям, могут быть сопоставлены обычные физические повороты. Эти преобразования не инвариантны по отношению к четырехмерной метрике квадрапространства и, поэтому, строго говоря, не являются его движениями. Однако по своей сути они могут выполнять практически ту же роль, что и пространственные вращения в классической механике, поскольку должны оставлять неизменными трехмерные расстояния, которыми наблюдатель наделяет окружающее его визуальное пространство. Возможно, именно в этом обстоятельстве найдет своё решение известный парадокс, вытекающий из принципа Маха и заключающийся в неравноправной относительности поступательно движущихся и равномерно вращающихся физических систем отсчета.

Пожалуй, самой удивительной особенностью квадрапространства является возможность установить простые и естественные условия, при которых живущий вдоль собственной мировой линии наблюдатель может зарегистрировать вокруг себя четырёхмерное физическое пространство, по своим свойствам практически совпадающее с псевдоевклидовым. Математически убедиться в этом можно, положив в выражении для дифференциала интервала (5):

|dx₁|>>|dx₂|≈|dx₃|≈|dx₄|.

Пренебрегая бесконечно малыми третьего и четвертого порядка, получим:

|dS|⁴=dx₁⁴ -2dx₁² (dx₂²+dx₃²+dx₄²).

Это выражение, в свою очередь, на бесконечно малую величину четвертого порядка отличается от формы:

|dS|⁴=dx₁⁴ -2dx₁² (dx₂²+dx₃²+dx₄²)+(dx₂²+dx₃²+dx₄²)²,

которая после извлечения квадратного корня в точности совпадает с выражением для интервала пространства Минковского.

В квадрапространстве, практически так же как и в пространстве Минковского, каждой паре событий можно вполне естественным образом сопоставить понятие трехмерного расстояния, задавая в качестве такового половину времени, уходящего на последовательный обмен световыми сигналами двух неподвижных друг относительно друга инерциальных систем отсчёта. Геометрически это сводится к построению треугольника, две стороны которого являются изотропными векторами, а третья лежит на мировой линии выбранной системы отсчёта. Половине интервала этой третьей стороны и ставится в соответствие физическое расстояние, измеряемое в световых секундах. При этом в отличие от аналогичного построения в пространстве Минковского, у получающегося правильного треугольника компоненты составляющих его изотропных векторов различаются не только по знаку, но и по величине.

Для произвольного вектора квадрапространства можно ввести и понятие соответствующего тому модуля трёхмерной скорости. В качестве последнего возьмём значение отношения трёхмерного расстояния между двумя неподвижными системами отсчёта к половине интервала времени, уходящего на обмен этих инерциальных систем сигналами, соответствующими рассматриваемому вектору.

Такое построение, на первый взгляд громоздкое и не привычное, на самом деле во многом аналогично соответствующим построениям в СТО. Существенная разница заключается лишь в том, что в пространстве Минковского множество точек, равноудалённых от двух фиксированных событий (то есть подпространство относительно одновременных событий), представляет собой гиперплоскость, а в случае квадрапространства - это нелинейная поверхность, уравнение которой имеет вид:

(a₁′-x₁′)(a₂′-x₂′)(a₃′-x₃′)(a₄′-x₄′)=(x₁′-b₁′)(x₂′-b₂′)(x₃′-b₃′)(x₄′-b₄′),

где a_i′ и b_i′- координаты фиксированных событий в абсолютном базисе.

Из принятых определений вытекает, что в квадрапространстве еще более рельефно, чем в пространстве Минковского, проявляется разница геометрических (более точно следовало бы сказать хронометрических) и физических координат. Так, если в качестве первых всегда могут быть выбраны прямые линии, то из четырех физических координат линейной может являться только одна координата собственного времени. Пространственные координаты оказываются обязательно не линейными, так как не линейна гиперповерхность условно одновременных событий. Однако в представлениях наблюдателя нелинейность физического пространства практически не заметна, так как проводимые им измерения удобно относить к его собственной, кажущейся ему линейной, шкале расстояний.

Таким образом, обычная убежденность физиков в том, что только пространство Минковского с его достаточно хорошо освоенными свойствами может служить базисом теоретических моделей реального мира, мягко говоря, не совсем соответствует истине. Как только что было показано, существует еще одно линейное пространство, свойства которого не хуже, а в чем-то даже и лучше, удовлетворяют нашим представлениям о реальном пространстве-времени в отсутствии полей.

В пользу целесообразности, хотя бы ради любопытства, поэкспериментировать с заменой пространства Минковского на квадрапространство говорит и тесная связь последнего с классическим понятием числа. Если подходить к данному аспекту чисто философски, следует признать, что категория числа весьма фундаментальна, причем она, скорее всего, является даже более общей, чем такие глобальные категории, как пространство, время, материя, или взаимодействие. Число можно мыслить вне времени и пространства, а также независимо от материи, или её взаимодействий, но вряд ли наоборот. Возможно даже, что это самое глубокое понятие вообще. Если проследить историю эволюции физики, которая неуклонно двигалась к всё более и более общим истокам, вполне допустимо предположить, что место геометрических понятий, доминировавших на протяжении всего двадцатого века, может занять ещё более фундаментальный объект математики – число [4]. Естественно, не только как инструмент, которым оно и так было на протяжении тысячелетий, но и как наиболее общая основа всего физически существующего.