Volume 2  Sections 891011

 

 

 

8 Международный окнгресс по логике, методологии и философии  науки

 

8 international  congress of logic methodology and philosophy of science

 

LMPS’87

 

 

 

Moscow

USSR

17—22 August

 

 

 

 

 

 

Секция 8

 

Р.И.Пименова, Коми филиал Академии наук СССР, Коммунистическая, 26.

 

Сыктывкар, СССР 167610

 

САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ МЕСТО

«ГЛАДКОСТИ» В СИСТЕМЕ «ДИСКРЕТНОЕ-НЕПРЕРЫВНОЕ»

В  ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

 

1. Эмпирические доводы в пользу новых объектов. После исследований Мандельброта (I) и обнаружения «странных аттракторов» в  полуэмпирических работах по метеорологии приобрела вес мысль, что так называемые «математические патологии» на деле являются наиболее подходящими кандидатурами на адекватное моделирование многих реальных объектов. Канторовы дисконтинуумы, покрывающая всю плоскость кривая Пеано, кривые — ковры Коха и Серпиньского, дробные размерности Хаусдорфа-Безиковича, долгое  время служившие лишь математическими контрпримерами, теперь сошли  вошли во многие главы «геометрии природы» и помогают понимать броуново движение, устойчивость корабля, лунный пейзаж, скопления галактик и протяженность морского берега. Математически и философски важнейшим аспектом этих конструктов является их непрерывность при отсутствии гладкости.

2. К истории вопроса. В теории пространства-времени традиционно  принято противопоставлять непрерывное и дискретное; эти две категории вошли во множество философских словарей. Концепция детермизма по Лапласу сложилась в то время,  когда предметом математического рассмотрения служили только гладкие кривые (функции). Лишь с середины XIX века с вейерштрассовой нигде не дифференцируемой непрерывной кривой начали развиваться конструкты рубрики 1, а самостоятельная роль гладкости в определении «дифференцируемого многообразия» выяснена лишь в середине XX века в дифференциальной топологии. За разрозненными эпизодическими исключениями в философской литературе проблема гладкости не поднималась. В противопоставлениях «Дискретное-непрерывное» в философских тpyдах в качестве «непрерывного» берется на деле «гладкое». Случаев, чтобы «дискретному» противопоставлялось в философской литературе «непрерывное, но не гладкое», — автору неизвестно.

3. Простейшие примеры негладкости  и детерминизма.              Разрешение рассматривать непрерывные негладкие объекты приводит к далеко идущим последствиям. Отказываясь от полной общности, возьмем простейший случай, когда производные существуют почти везде — за вычетом множества лебеговой меры нуль. Например, канторова лестница. Если мы разрешим себе рассматривать ее в галилеево-ньютоновом пространство-времени, то обнаружится частица, у которой мгновенная скорость везде, где она существует (а она существует почти везде), равна нулю, а при этом ее конечная (глобальная) скорость не равна нулю. Например, абсолютно непрерывные кривые. Если мы разрешим себе рассматривать такие кривые в специальной теории относительности, то обнаружится частица, которая за любой конечный промежуток времени  Dt    проходит путь (одномерный) строго меньший сDt, но ее мгновенная скорость во всех точках существования точно равна ±с. В (2) даны и другие примеры «диких частиц». Если точечное тело движется столь  либерально, то знание его положения-скорости в начальную дату не определит однозначно ни  его положения, ни его скорости ни в какую исследующую дату, даже если тело во всех точках существования производных подчиняется соответствующим дифференциальным уравнениям механики (3). Поэтому, если допустить, что причинно-следственные воздействия могут переноситься по таким мировым линиям, то никакое знание о «начальном состояния» вещества ничего не предскажет нам  насчет его будущего состояния, даже если известны все дифференциальные уравнения, которым это вещество (поля) подчиняется. Все это прямо затрагивает концепцию лапласовского детерминизма и современную парадигму физики как дисциплины, опирающейся  на дифференциальные уравнения, а вытекает только из разрешения включить в рассмотрения такие сравнительно простые негладкие непрерывные конструкты.

4. Место гладкости в ОТО. В шкале множеств, которая по Бурбаки задает род структуры, топологическое многообразие и многообразие гладкое (иначе «дифференцируемое») выражаются по-разному. Первое есть (М, Тс 2^м),  а второе (М, Тс 2^м, Fc R^м). Здесь  М — множество, элементы которого именуются точками пространства,   R — множество вещест­венных чисел,      Т  - называется топологией (иногда С°— структурой) и эксплицирует философскую идею непрерывности, а R^м  —  обозначает семейство всех непрерывных отображений из М   в  R, причем Fc R^м  обязано удовлетворять определенным аксиомам. Это   F, то есть фиксированное подсемейство семейства непрерывных функций на (М, Т),      и называется гладкостью (иногда С в степени k  — структурой при  К ³ 1). Все  последующие объекты, фигурирующие в  дифференциальной топологии или в физике общей теории относительности, опираются на выбор F. Так,  набор n   функций  f_i Î F     (n  — равномерность), называется при определенных условиях «картой», или «системой координат», или «атласом». Касательное пространство — это совокупность определенных операторов из  F   в R.  Риманова метрика g_ik  — это некоторые функции над F. Тензор  материи — тоже. Дифференциальные уравнение формулируются применительно к F . В трехмерном случае можно  не упоминать F в определении, ибо oна существует и единственная по топологической структуре. Но существуют несглаживаемые 4-многообразия, то есть «непрерывные структуры» (M,T), на которых нельзя задать F, следовательно, нельзя ввести систем   координат. В топологии остается открытым вопрос, единственно ли то F, которое можно задать на сглаживаемом 4-многообразии. Поэтому для своего корректного определения пространство-время нуждается в явном упоминании о гладкости. Для размерности  n ³ 7 гладкость заведомо не единственна, что может иметь отношение к многомерным единым теориям.

5.  Негладкие обобщения ОТО. Уже построены неизотропные и негладкие обобщения общерелятивистского пространства-времени (2—5). Этим в частности, реализован один из замыслов В. И. Вернадского. В общем случае даже метрика там не дифференцируема, но здесь мы снова ограничимся простейшим примером — финслеровой ОТО. В последней световой конус не обязательно круговой, но может, в частности, обладать плоской гранью. Оказывается (3), что в этом случае уравнение для геодезической в направлении на эту грань имеет не единственное решение при фиксированной точке и касательной, но бесконечно много решений. Размерность пространства решений отвечает размерности плоской грани. Таким образом, при данном начальном положении и данной начальной скорости "инерциальной частицы" ее последующие положения и скорости не  детерминированы, а обладают высокой степенью свободы и при такой форме отказа от гладкости.

6.  Философская  проблема. Мы проиллюстрировали, что даже минимальный отказ от метатеоретического принципа, разрешающего рассматривать исключительно гладкие конструкты, сразу задевает привычные представления, в частности  относящиеся к категории причинности. Отказ же диктуется эмпирически (I). Предстоит философски осмыслить эти и подобные им примеры и модели. А для этого прежде всего необходимо включить в поле философского зрения самое понятие гладкости и указать ему место относительно традиционной дихотомии "дискретное-непрерывное". По нашему мнению, эту дихотомию  следует расширить до трихотомии "дискретное-непрерывное-гладкое". Считать ли каждый из этих трех терминов самостоятельной категорией, или же все три слить в одну категорию, а их мыслить "конкретными знaчeниями" общей категории — дискуссионно. Сле­дует лишь помнить, что гладкость несводима ни к нeпpерывности, ни к дискретности.

ЛИТЕРАТУРА

 

1.     Mandelbrot В.В. Fractals. San-Francisco, 1977.

2.     Пименов Р.И. Пространства кинематического типа (математическая теория пространства-времени). Ленинград: Наука, 1968 (Pimenov R.I. Kinematic sраcеs. New-York, Plenum Press, 1970).

3.     Пименова Р.И. Финслеровы кинематики. — Сибирский мат. журн.,  1981, т. 22, № 3, с.  136—146.

4.     Busemann H. Timelike spaces. Warszawa, 1967.

5.     Pimenov R.I. A non-smooth  approach to the physical content of General Relativity. — 9^th International conference on General Relativity and Gravilation. Jena, 1980, v. IV, p.663.