© А.Заславский

СОБСТВЕННЫЕ МИРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А. Заславский

Мы можем рассуждать о системе, отвлекаясь от специфического (семантического) значения её состояний и элементов (Общая система [ 1 ] ).

Обладая некоторым запасом воображения можно представить себе внешнего наблюдателя (в традициях классической науки – демона), для которого система “наш мир” представляется упорядоченной последовательностью абстрактных событий (состояний, отнесенных к моментам времени демона), о которых можно сказать лишь одно, что они различимы.

Если запас нашего воображения ещё не исчерпан, то можно представить существование второго демона, но уже в качестве внутреннего наблюдателя рассматриваемой системы, для которого эта система “изнутри” видится так же, как нам видится наш мир.

В общем случае события динамической системы взаимно однозначно соответствуют некоторым моментам времени внешнего наблюдателя и каждому моменту времени внутреннего наблюдателя.

Иными словами, мы предполагаем существование собственных миров общих динамических систем, отображённых в собственных временах и собственных пространствах.

Однако внешне динамическая система представляется линейно упорядоченной последовательностью абстрактных различимых состояний.

Следовательно, если допустить возможность существования отношений “собственный физический мир” на множестве событий общей динамической системы, то следует признать, что единственной внешней причиной таких отношений является линейная упорядоченность событий.

При исследовании данной гипотезы будем предполагать, что внутренний наблюдатель собственного мира общей динамической системы является её подсистемой, организованной как однонаправленный автомат с памятью.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (АКСИОМАТИКА)

Общая динамическая система (ДС) в контексте данной работы это отношение линейного порядка (цепь событий) на абстрактном множестве, которое в общей теории систем называют объектом состояний общей системы.

Каждому событию соответствует его порядковый номер в цепи (момент собственного времени ) и некоторый признак = - состояние (см. рис.1). В тех случаях, когда нам потребуется указать на принадлежность события некоторой - той подсистеме будем использовать обозначение . Комбинация признаков в цепи событий и их отношение к различным объектам мира внешнего наблюдателя определяет специфическую сущность и внешние свойства наблюдаемой им системы. При исследовании собственного мира динамической системы отношение её состояний к объектам мира внешнего наблюдателя игнорируется.

Различие или эквивалентность признаков и двух любых событий и есть объективное свойство системы, не зависящее от наблюдателя. Собственно, признак может интерпретироваться различными наблюдателями по-разному (как, например, значение буквы латинского алфавита, или температура, или частота, или иероглиф, или еще как-то), но то, что и различные (одинаковые) состояния, это есть объективное свойство системы, не зависящее от наблюдателя.

Вследствие изложенного в предыдущем пункте, различные наблюдатели, классифицируя события наблюдаемой ими системы по одинаковым признакам, получат тождественные множества классов состояний. Мощность состояния (количество событий с одним и тем же признаком) есть величина, одинаковая для всех наблюдателей. Именно эту величину, вследствие инвариантности к выбору наблюдателя, будем использовать в качестве меры состояния общей ДС в собственном пространстве. Пусть динамическая система при переходе от события к событию оказывается раз в состоянии . Эту величину, являющуюся разностью мощностей состояния в моменты времени и , можно рассматривать как расстояние, которое система преодолевает за время .

Задача состоит в том, чтобы построить адекватные математические модели этих многообразий как следствия линейной упорядоченности цепи событий.

Обозначим количество -тых состояний системы на отрезке времени . Далее, суммируя все состояния, получим:

Обозначим количество переходов из -того состояния в -тое на отрезке времени . Суммируя переходы из всех -тых состояний в некоторое выделенное - тое состояние, получим:

Отношение количества -тых состояний системы на отрезке времени к количеству всех состояний на этом отрезке времени будем называть вероятностью -того состояния

Суммируя (2.2) по индексу ( ), получим:

Отношение количества переходов из -того состояния в -тое на отрезке времени к сумме всех переходов на этом отрезке времени будем называть безусловной вероятностью перехода из -того в -тое состояние

будем называть условной вероятностью перехода из -того в -тое состояние (т.е. при условии, что в момент времени система находилась в -том состоянии).

Суммируя (2.3) по всем индексам , а также учитывая (2.2), получим систему тождеств цепи событий ДС в виде

Аналогичными равенствами, известными как уравнения Чепмэна – Колмогорова описывается кинетика марковских цепей.

Поставим в соответствие элементарному участку цепи длительность

.Тогда произвольному участку цепи соответствует длительность

Среднее приращение вероятности -того состояния на отрезке времени равно

В пределе, при получаем

где - плотности вероятностей переходов.

3. ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ЦЕПИ СОБЫТИЙ.

Так как количество состояний выражается положительным числом, то .

Если суммирование осуществляется по всем индексам , то

Вернемся вновь к модели ДС, изображенной на рис.2. Промежутку времени соответствует некоторое распределение состояний системы по признакам. Для наглядности это можно представить себе в виде шаров разных цветов (количество цветов равно ), уложенных в один ряд. Как известно из теории информации, количество информации , содержащейся в рассматриваемом отрезке цепи событий, равно

- константа, - количество возможных способов реализации отрезка цепи при заданном ансамбле признаков (состояний), каждый из которых включает состояний. В качестве меры неопределённости, снимаемой одним реализованным состоянием ДС, примем среднее количество информации, приходящейся на одно событие

Эта величина естественным образом ассоциируется с понятием энтропии системы. Заметим, что, применяя формулу Стирлинга к (3.5) в известном приближении , получаем формулу энтропии системы в обычном виде

Нас интересует приращение энтропии на отрезке времени

Подставляя сюда и из (3.5), найдём

На отрезке времени , вследствие линейной упорядоченности цепи событий, увеличивается на единицу количество событий только одного признака (например ). При этом количество событий с иными признаками не изменяется. Следовательно, (3.7) можно преобразовать к виду

Так как , второе неравенство цепи состояний получаем в виде:

Иными словами – энтропия общей динамической системы не убывает.

4. CОБСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО – ВРЕМЯ ОБЩЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

1. МЕТРИКА ВИРТУАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА – ВРЕМЕНИ.

В разделе “введение” было высказано предположение о существовании внутреннего наблюдателя общей динамической системы. Без такого предположения не имеет смысла рассуждать о её собственном мире. Совершенно очевидно, что наблюдатель должен являться подсистемой ДС. Это означает, что его собственная цепь событий должна быть подмножеством цепи событий общей системы. Вводя внутреннего наблюдателя, мы предполагаем, что на этом подмножестве задано отношение специального вида – автомат, способный запоминать и анализировать последовательности наблюдаемых событий. Функция наблюдения задаётся упомянутым отношением, как причинно – следственная связь состояний автомата – наблюдателя со всеми событиями наблюдаемой системы. Мы не будем детализировать конструкцию такого автомата. Принципы его построения хорошо изучены теорией автоматов (см. например [2,3,4]). Для нас достаточно осознавать принципиальную возможность его существования. “Если рассматривать человека как односторонний автомат, в котором направление движения ленты совпадает с осью времени, то, в сущности, это эквивалентно утверждению о том, что человек для того, чтобы осуществлять определённые виды деятельности, должен располагать памятью.” (Ф. Джордж [3]).

Какую полезную информацию может извлечь из своих наблюдений наш наблюдатель? Он не может соотнести зафиксированные им события с чем бы то ни было в недоступном его восприятию внешнем мире. Следовательно, наиболее простой (естественный) способ адекватно отображать изменения, происходящие в его собственном мире, состоит в том, чтобы классифицировать события по одинаковым признакам и фиксировать изменения мощностей полученных классов. При этом изменение суммы всех состояний системы воспринимается наблюдателем как изменение времени постольку, поскольку количество моментов собственного времени системы не может быть больше или меньше количества всех её событий. Изменение количества состояний каждого класса в отдельности можно интерпретировать как изменение соответствующей координаты в пространстве состояний системы. Одним из достоинств такого подхода к определению наблюдателя, с нашей точки зрения, является отсутствие необходимости изначально приписывать цепи событий какую-либо алгебраическую структуру. При этом время – пространственные отношения проявляются как следствия статистических закономерностей распределения состояний в цепи событий, а не оказываются заданными изначально. Важно также то, что понятие “расстояние” вводится со ссылкой на способ его измерения путём счёта количеств состояний системы.

По определению, каждое событие системы характеризуется одним из признаков ( может стремиться к бесконечности). Следовательно, множество событий ДС есть объединение попарно непересекающихся подмножеств (цепей одного признака)

. (4.1)

Поставим в соответствие цепи событий системы интервал времени , равный

Каждой цепи событий - того признака (состояния) поставим в соответствие положительное число – проекцию приращения вектора состояния на - тую координатную ось (при единичном базисе)

где: - константа, устанавливающая соответствие между единицами измерений отрезков времени и пространства состояний.

Наглядное представление о том, как отображается состояние ДС на временной и пространственных осях дает рисунок 3. При таком способе отображения на координатных осях откладываются отрезки, пропорциональные изменениям количества состояний соответствующего признака (т.е. отображаются частоты появления состояний системы, не зависящие от того, как собственно состояния интерпретируются наблюдателем).

 

Умножив и разделив правую часть (4.3) на , получим:

Пусть - рассматриваемое -мерное евклидово пространство и - базис . Тогда с помощью проекций (4.4) дифференциал вектора состояния можно отобразить в как линейную комбинацию векторов из :

Выберем в качестве базиса ортонормированную систему векторов. В этом случае модуль вектора равен:

Потребуем, чтобы система ограничений на движение ДС в собственном пространстве состояний была минимальной. Это означает, что направление и другие параметры движения не должны ограничиваться ничем кроме тождеств и неравенств цепи событий. Как видно из (4.5), при заданном базисе, движение всех подсистем ДС возможно только в положительном направлении его полуосей . Следовательно, задание конкретного базиса как системы констант вносит недопустимые ограничения, препятствующие, в частности, изотропности пространства. Поступим следующим образом. Будем считать базис, связанный с изображающей точкой системы, ортонормированным, произвольно ориентированным и масштабированным относительно некоторой системы декартовых координат. Геометрически это выглядит так (рис.4), как если бы в каждой точке пространства имелся свой локальный базис , связанный линейным преобразованием с некоторым начальным ортогональным базисом (в некотором смысле аналогично пространству Вейля[6]). Линейная комбинация векторов из вида (4.5) определяет приращение радиус – вектора подсистемы ДС в каждой точке пространства.

 

Раскладывая приращение вектора состояния системы по осям ортонормированного базиса в точке , получаем для его компонент

Раскладывая приращение вектора состояния системы по осям базиса , определяющего декартову систему координат в виртуальном пространстве, получаем

где векторы базиса связаны с единичными векторами линейным преобразованием.

Следовательно, вероятности состояний связаны с приращениями координат линейным преобразованием вида:

где - матрица линейного преобразования.

Необходимым условием однородности и изотропности собственного виртуального пространства состояний динамической системы является ивариантность его метрики к линейным преобразованиям координат. Следовательно матрица должна быть ортогональной, а модуль вектора можно представить в инвариантном виде

Обозначим - бесконечно малый интервал между событиями в пространстве-времени ДС

Собственное виртуальное пространство – время общей ДС, также как и виртуальное пространство состояний, будем считать однородным и изотропным. Это означает инвариантность время – пространственного интервала к линейным преобразованиям в виртуальном пространстве – времени.

Рассмотрим пример классической (механической) системы в трёхмерном пространстве нашего мира. Система состоит из подсистем – материальных точек. Каждая такая подсистема определяется заданием трёх координат и трех импульсов в каждый момент времени. Для описания поведения всей системы, состоящей из материальных точек, в предельном случае требуется пространство измерений.

Теперь рассмотрим этот же пример в ином ракурсе. Пусть имеется - мерная динамическая система, о которой нам известно, что это система материальных точек, но не известно из какого количества точек она состоит. При этом материальная точка определена как объект, описываемый тремя переменными и их производными, удовлетворяющими некоторой системе ограничений. Положим для простоты . Осуществим декомпозицию системы на подсистемы меньшей размерности, затем осуществим декомпозицию полученных подсистем и так до тех пор пока не получим такое множество подсистем, которые не могут быть подвергнуты декомпозиции без нарушения ограничений, которыми обусловлена их целостность. В нашем примере это ограничения, определяющие подсистемы как материальные точки. Следовательно, в предельном случае эксперимент с декомпозицией системы закончится её разбиением на материальных точек в пространстве трёх измерений. Рассмотренный пример допускает следующее обобщение. Если наблюдатель отображает динамическую систему в пространстве состояний в виде ансамбля точек, то размерность пространства равна размерности подсистемы, играющей роль точки. Эта размерность определяется как минимальная, при которой выполняются ограничения, обеспечивающие целостность подсистемы, и последняя обладает хоть одной степенью свободы. Минимальную размерность пространства состояний ДС определим следующим образом. Пусть имеется - мерная подсистема ДС вида (4.1). Пусть на вероятности её состояний наложено ограничений

Если то, решая систему уравнений (4.16), получим () В общем случае, при решения (4.16) не существует. При с учетом (2.14) получим Следовательно, минимальная размерность, при которой подсистема обладает свободой движения . При декомпозиции ДС размерности на подсистемы, каждая из которых удовлетворяет ограничениям, получим динамические подсистемы размерности не менее чем . Если - минимально возможное число ограничений, то подсистемы в пространстве состояний размерности играют роль материальных точек. Само собой разумеется, что в число минимально возможных ограничений входят лишь те, которые обусловлены внутренними статистическими закономерностями цепи событий. Первое такое ограничение на изолированную - тую подсистему накладывается условием нормировки

где: - постоянный коэффициент.

Это равенство накладывает второе ограничение на вероятности состояний - той подсистемы. Если учитывать в качестве ограничений и другие интегралы движения, то получим систему с числом степеней свободы больше единицы. Следовательно, подсистема, играющая роль материальной точки в пространстве состояний ДС, имеет размерность, равную трём (три класса событий ). Поэтому собственное пространство состояний абстрактной системы, воспринимаемой наблюдателем в виде ансамбля материальных точек, имеет размерность равную трём. Трёхмерность нашего мира можно рассматривать как эмпирическое подтверждение этого теоретического вывода.

Ранее (раздел 3), при исследовании неравенств цепи событий, было установлено, что логарифмическим эквивалентом количества возможных реализаций отрезка цепи событий, является энтропия .

Варьируя ансамбль признаков в пределах, обусловленных ограничениями, можно добиться такого распределения состояний на отрезке цепи , при котором энтропия будет максимальной и, следовательно, цепь событий наиболее вероятной.

Выразим теперь принцип наиболее вероятной цепи событий математически в таком виде, чтобы из него можно было вывести уравнения движения материальных точек в функции их распределения в собственном пространстве ДС. Устремляя количество состояний на конечном отрезке времени к бесконечности, получаем возможность, в предельном случае, рассматривать собственное пространство – время ДС как континуум. При этом уравнения движения сводятся к дифференциальным уравнениям, а взаимодействие подсистем с системой можно рассматривать как взаимодействие частиц с силовым полем, распределённым в собственном пространстве ДС.

где - некоторые функции времени.

Задача (5.2) может быть упрощена и сведена к известной в вариационном исчислении изопериметрической задаче [5] в тех случаях, когда систему ограничений удается свести к виду:

В этом случае - константы и для решения задачи (5.1) необходимо найти безусловный экстремум от интеграла

В этом интеграле первый член можно рассматривать как действие для поля, а последующие члены, как действие для частиц и их взаимодействия с полем системы.

5.2. СИСТЕМА ОГРАНИЧЕНИЙ

где: - вероятность k – той подсистемы как целого на рассматриваемом отрезке цепи.

Запишем уравнения (4.9) в развёрнутом виде для -той подсистемы

Второе ограничение на k – тую подсистему уже было сформулировано выше

Последнее слагаемое есть та часть действия , которая зависит только от свойств подсистем (частиц), т.е. действие для свободных частиц

где: - коэффициент, отождествляемый с массой частицы.

Так как - положительно определённый скаляр, то и масса частицы есть величина всегда положительная.

Сумма второго и третьего слагаемого в (5.16) по аналогии с теорией электромагнитного поля есть та часть действия , которая обусловлена взаимодействием между частицами и полем

где: - коэффициент, отождествляемый с зарядом частицы, - векторный потенциал поля ДС в той точке собственного пространства и времени, в которой находится соответствующая подсистема,

- скалярный потенциал.

Так как в подынтегральном выражении при произвольном поле и движении частицы скалярное произведение может иметь различные знаки, а в исходном ограничении это положительно определённая величина (вероятность), то заряд должен иметь разные знаки в зависимости от знака указанного скалярного произведения.

Сумма - действие для зарядов в поле. Подынтегральное выражение в этой сумме есть функция Лагранжа для заряда в электромагнитном поле

где индексы независимо пробегают значения 0,1,2,3; - антисимметрический тензор, называемый тензором электромагнитного поля

есть та часть действия, которая зависит только от свойств самого поля. Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений эволюции общей динамической системы необходимо выразить скорость производства энтропии в единице объёма через величины, характеризующие движение подсистем. Схема рассуждений, позволяющая в явном виде выразить действие для случая электромагнитного поля, хорошо известна [7]. Она опирается на следующие утверждения:

Положительная определённость функции Лагранжа связывается с необходимостью иметь минимум согласно принципу наименьшего действия. Принцип суперпозиции электромагнитных полей есть опытно установленный факт. В развиваемой здесь теории поля эти утверждения должны быть логическими следствиями тождеств и неравенств цепи событий ДС, так как эта теория применима к описанию собственных миров любых динамических систем. Пункт а) непосредственно следует из второго неравенства (3.9) цепи событий. Пункт в) докажем, опираясь на свойство аддитивности функции распределения состояний.

Пусть цепь событий k – той подсистемы представляет собой объединение двух цепей событий соответствующих подсистем

тогда вероятность k – той подсистемы равна сумме вероятностей составляющих подсистем

Так как базис зависит только от выбора точки в пространстве, то векторный потенциал в точке равен

Скалярный потенциал подчиняется принципу суперпозиции, так как он также линейно зависит от вероятности (первый член в формуле скалярного потенциала, нарушающий аддитивность из-за множителя не существенен для поля вследствие калибровочной инвариантности). Таким образом, принцип суперпозиции для собственного поля общей ДС доказан и, следовательно, по аналогии с известным результатом из теории электромагнитного поля действие должно иметь вид

Численное значение зависит от выбора единиц для измерения поля.

Математическое преобразование распределения вероятностей цепи событий ДС в распределение координат объектов её собственного мира будем называть прямым супервизорным преобразованием образа собственного мира.

Математическое преобразование распределения координат объектов собственного мира ДС в распределение вероятностей её цепи событий будем называть обратным супервизорным преобразованием образа собственного мира.

где: - векторы напряженностей электрического и магнитного полей, составленные из компонент тензора электромагнитного поля .

Обозначим - массу движущейся частицы ( в отличие от массы покоя -).

Запишем тождества (2.14), выделив в системе материальную точку, и обозначим её состояния и переходы индексами , пробегающими независимо друг от друга значения 1,2,3 (все иные значения будем обозначать индексом )

Обозначив , получим

Подставим в эти тождества вероятности , выраженные через скорости изменения координат материальной точки согласно (4.9)

С учётом ортогональности матрицы тождествам (6.8) можно придать вид

Матрицу в скобках представим в виде суммы антисимметрической и симметрической матриц

Из равенства левых частей уравнений (6.5) и (6.12) следует равенство их правых частей. Но так как (6.12) является тождеством, это равенство должно выполняться почленно. Приравнивая члены с одинаковыми показателями степени , получим следующие два уравнения

Однако, не трудно доказать, что первое из этих уравнений распадается на два уравнения. Действительно, так как и антисимметрические матрицы с нулевыми диагональными элементами, то разность - также является антисимметрической матрицей с нулевыми диагональными элементами, которая в сумме с симметрической матрицей (где - единичная матрица) может давать нуль лишь в том случае, когда все элементы главной диагонали последней равны нулю. Как видно из (6.14), в общем случае элементы главной диагонали не равны друг другу и не равны нулю.

Для того чтобы найти коэффициенты преобразования примем во внимание ортогональность матрицы , (что является математическим выражением однородности и изотропности собственного пространства состояний), а также выражение (5.12) для компонент векторного потенциала собственного поля системы. Получим следующую систему уравнений

где: - матрица – столбец с единичными элементами.

В развёрнутом виде эта система насчитывает шесть уравнений второго и три первого порядка – ровно столько, сколько необходимо для того, чтобы выразить девять коэффициентов через компоненты векторного потенциала собственного поля ДС.

Предполагаем, что нам известна цепь событий динамической системы, распределение состояний которой требуется преобразовать в распределение координат и импульсов материальных точек в её собственном мире. Это значит, что известны все плотности вероятностей переходов для каждого момента времени . Кроме того, в цепи указаны подмножества событий для всех состояний материальной точки – объекта преобразования .

Из матричных уравнений (6.17, 6.19) имеем систему шести нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно потенциалов поля , и их производных по координатам собственного пространства. Из уравнения (6.18), получим три собственных значения , и три подпространства собственных векторов скорости материальной точки. Все собственные значения действительны вследствие симметричности матрицы .

найдём для каждого собственного вектора , соответствующие значения массы и заряда материальной точки , а также значения множителя .

2. ОБРАТНОЕ СУПЕРВИЗОРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.

Предполагаем, что нам известно поле в собственном пространстве динамической системы, а также значения массы, заряда и скорости материальной точки, для которой осуществляется преобразование. Требуется найти распределение состояний соответствующей подсистемы в цепи событий рассматриваемой системы. Граф переходов подсистемы “материальная точка” в цепи событий показан на рисунке 3, где обозначено: - состояния подсистемы, - множество состояний ДС, дополнительных к выделенным состояниям подсистемы. Стрелками показаны переходы между состояниями.

 

Так как распределение вероятностей состояний подсистемы описывается уравнением (6.7), то задача сводится к отысканию девяти переменных и . Из (6.17) и (6.19) имеем шесть уравнений, связывающих эти переменные с параметрами поля и материальной точки. Кроме того, имеются уравнения движения материальной точки, с помощью которых координаты собственного пространства ДС могут быть выражены через параметр . Недостающие три уравнения получим из (6.18). Для этого приведём матрицу к диагональному виду. Эта задача заведомо разрешима, так как - симметрическая матрица. Из равенства

где - ортогональная диагонализирующая матрица, получаем три уравнения, связывающие искомые переменные с параметрами поля системы и модулем скорости материальной точки.

Результаты проведенного исследования доказывают существование собственных миров динамических систем, аналогичных нашему миру. Исследованные аналогии пока исчерпываются некоторыми физическими законами, определяющими свойства пространства, времени и поля. Однако есть основания предполагать, что они простираются гораздо дальше. Так, например, из принципа наиболее вероятной цепи событий (максимум энтропии), при учете различных ограничений на вероятности состояний, можно вывести [8] уравнения равновесной и неравновесной термодинамики, уравнения состояния вещества.

Преобразуем обратным супервизорным преобразованием распределение её координат и скоростей в распределение вероятностей состояний в цепи событий общей динамической системы. Получим распределение трёх вероятностей ,, которые согласно второму неравенству цепи событий, изменяются необратимо. Прямое супервизорное преобразование ставит в соответствие этому распределению множество калибровочных полей и траекторий.

Рассмотрим содержательный смысл проблемы микроскопической необратимости. С точки зрения динамического описания материальной точки, задание начальных условий полностью определяет её траекторию. До сих пор априори считалось, что вся информация об эволюции подсистемы “материальная точка”, заключена в её траектории (волновой функции). Поэтому движение материальной точки, как бы, не создавало новой информации, (энтропия оставалась неизменной). Отсюда следовал вывод об обратимости эволюции отдельно взятой подсистемы “материальная точка”. На уровне микроописания динамическая система оказывалась инвариантной к “стреле времени”.

Новая точка зрения состоит в том, что материальная точка, как динамический объект в пространстве, является лишь частным образом динамической подсистемы. Как было показано выше, её траектория полностью определяется распределением количеств состояний в цепи событий. Но знание распределения количеств состояний не достаточно для детального восстановления порядка их следования. Следовательно, детерминированная траектория не означает детерминированной эволюции. Задание начальных условий предопределяет лишь количество возможных “сообщений” – последовательностей состояний в цепи событий, но не сами последовательности. Эволюция подсистемы информационно богаче движения отображающей её точки в пространстве. Эволюция материальной точки сопровождается производством информации для внешнего наблюдателя. Если извне не накладываются специальные ограничения на содержание сообщений в цепи событий, то в каждый момент времени невозможно предсказать следующее состояние. А значит, эволюция материальной точки необратима постольку, поскольку непредсказуемо содержание сообщения, заключённого в последовательности состояний цепи её событий. Эта неопределённость возрастает с увеличением количества событий, т. е. с течением времени. Рассматривая замкнутую динамическую систему, как целое (т.е. учитывая все последовательности состояний в цепи событий), получаем в соответствии с (3.9, 5.16, 5.25)

где: элемент фазового объёма; первое слагаемое соответствует приращению энтропии вследствие увеличения количества состояний системы; второе слагаемое соответствует приращению энтропии вследствие увеличения количества событий в системе. В консервативных системах фазовый объём не изменяется, следовательно первое слагаемое обращается в нуль – информация для собственного мира не производится. Однако, для внешнего наблюдателя увеличивающаяся цепь событий производит новую информацию. Следовательно, второе слагаемое не обращается в нуль. Рассматривая динамическую систему только как ансамбль частиц в собственном мире, мы утрачиваем её информационное содержание. Цена такого упрощения – искажение смысла времени.

1. М. Месарович, Я. Такахара. Общая теория систем. Математические основы.- М.: Мир, 1978. 311с.
2. Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. Очерки по математической теории систем. – М.: Мир, 1971. 400с.
3. Ф. Джордж. Основы кибернетики. – М.: Радио и связь, 1984. 272с.
4. М. Л. Цетлин. Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем. – М.: Наука, 1969. 316с.
5. М.А. Лаврентьев и Л.А. Люстерник. Курс вариационного исчисления. – ГОНТИ. НКТП. СССР, 1938. 192с.
6. Вейль Герман. Избранные труды. Математика. Теоретическая физика. – М.: Наука, 1984.
7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. – М.: Наука, 1988. 512с.
8. Г. Хакен. Синергетика. – М.: Мир, 1980. 404с.
9. И. Пригожин. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках. – М.: Наука, 1985. 327с.

А. Заславский.