Хроногеометрия - в переводе с греческого - означает <<измерение земли и времени>>. Поскольку <<земля>> - это пространство, то под хроногеометрией следует понимать теорию пространства-времени. В этом значении термин <<хроногеометрия>> использовал физик В.А.Фок. Его ученик А.Д.Александров в 1967 году статью, посвященную канадскому геометру Кокстеру, назвал <<Contribution to chronogeometry>>, т.е. <<Вклад в хроногеометрию>>. Цель этой статьи состояла в нахождении минимального набора условий, налагаемых на некоторое семейство областей, лежащих  в Мире событий M, которые бы позволили однозначно заявить о том, что Мир событий обладает четырехмерной псевдоевклидовой геометрией.

 

   Таким образом, А.Д.Александров хроногеометрией назвал основания теории пространства-времени. Именно такая хроногеометрия излагается в данной книге.

***

   Одним из традиционно важных занятий философии и классической науки считалось выявление как можно меньшего числа  исходных положений, на которых основывалась любая сколь-нибудь значимая научная теория. Такие исходные положения получили названия  аксиом, или постулатов. Наиболее древней аксиоматически изложенной наукой считается геометрия Евклида.

 

   Практически с самых первых лет появления специальной теории относительности (СТО) начались поиски аксиом, лежащих в основе этой теории. Наиболее значительными этапами на пути аксиоматизации СТО являются работы Германа Минковского и Альфреда Робба.

 

 

   В середине 1950-х годов А.Д.Александров предложил программу построения аксиоматической специальной  теории относительности на основе следующих основных положений:

 

а)  пространство-время есть многообразие всех событий, взятое лишь с точки зрения его структуры, определенной системой отношений предшествования, в отвлечении от всех иных свойств;

 

б)  пространство-время есть четырехмерное многообразие;

 

в) пространство-время максимально однородно, т.е. группа его преобразований, сохраняющих отношение   предшествования,  максимальная   из всех  возможных.

 

  В 1970-80-е годы А.Д.Александрову удалось привечь к реализации своей программы группу молодых математиков, обучавшихся в  Новосибирском государственном университете. Этот коллектив, работавший на протяжении почти двадцати лет, представлял уникальное научное содружество, посвятившее свои силы и ум выявлению оснований самой значительной физической теории  XX века. Плодом его многолетней деятельности стали различные изощренные теоремы и полученные с их помощью разнообразные аксиоматики теории относительности.

 

   В данной монографии излагаются основные результаты, полученные данным коллективом под руководством выдающегося российского математика академика АН СССР Александра Даниловича Александрова.

 

***

 

 

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

Предисловие

 

ВВЕДЕНИЕ

 

0.1. Что такое хроногеометрия?

0.2. Используемые обозначения и определения

0.2.1. Смещения и квазицилиндры

0.2.2. Предпорядок, порядок и порядковые автоморфизмы

0.2.3. Инвариантные порядки в A^n

0.2.4. Конусы

0.3. Аффинные структуры и аффинные многообразия

0.3.1. Аффинные пространственно-временные структуры и порядки

0.3.2. Однородные аффинные многообразия

0.3.3. Физический смысл аффинных структур

 

1. СТРУКТУРА МИРА СОБЫТИЙ

 

1.1. Временной порядок

1.1.1. Направление времени

1.2. Причинный порядок

1.2.1. Первичность временного порядка?

1.3. Мир Минковского

1.3.1. Преобразования Лоренца

1.3.2. Световые конусы

1.4. Теория абсолютного пространства-времени Минковского

1.4.1. Относительность пространства и времени

1.4.2. Относительность одновременности

1.4.3. Объединение пространства и времени

1.5. Реальность пространства-времени Минковского

1.5.1. Эксперименты Н.А.Козырева

1.5.2. Павел Флоренский о реальности пространства-времени

1.5.3. Что такое реальность, реальный мир?

1.6. Причинная структура лоренцевых многообразий

1.6.1. Локальный причинный порядок

1.6.2. Кинематики Пименова

1.7. Причинная аксиоматика пространства-времени

1.7.1. Программа А.Д.Александрова построения специальной теории относительности

1.7.2. Три задачи хроногеометрии по Пименову

1.7.3. Итоги решения трех задач хроногеометрии

1.7.4. Классы пространств однозначного решения задач хроногеометрии

1.8. Интерактивная аксиоматика пространства-времени

1.9. Проблема четырехмерности пространства-времени

 

2. ПРИЧИННАЯ ТЕОРИЯ МИРА СОБЫТИЙ

 

2.1. Понятие пространства-времени

2.2. Аксиомы A_1, A_2

2.3. Теорема о непрерывности

2.4. Теоремы о контингенции

2.5. Отображение конусов

2.6. Конусы с транзитивной группой

2.7. Аксиоматики А.Д. Александрова

2.8. Аксиоматика Г. Буземана

2.9. Лоренцевы и галилеевы кинематики Р.И. Пименова

2.10. Неточно измеренная причинность влечет группу Лоренца

 

3. ИНТЕРАКТИВНАЯ ТЕОРИЯ МИРА СОБЫТИЙ

 

3.1. Теорема Александрова-Овчинниковой

3.2. Отображение семейств эллиптических конусов

3.3. Конформное пространство

3.4. Простые системы аксиом

3.5. Теоремы о конечном числе источников света

3.6. Отображение строго выпуклых конусов

3.7. Сколько инерциальных систем отсчета?

3.8. Аксиоматика теории относительности

3.9. Аксиоматика Ю.Ф. Борисова

3.10. Размерность Мира событий по Борисову

3.11. Аксиоматика В.К. Ионина

 

4. СВЯЗНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОРЯДКИ В A^n

 

4.1. Отображение семейства параллельных конусов

4.2. Отображения связно упорядоченных пространств

4.3. Сильно связные и квазисвязные предпорядки

 

5. НЕСВЯЗНЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОРЯДКИ В A^n

 

5.1. Порядковые автоморфизмы несвязно упорядоченного аффинного пространства

5.1.1. Внешний конус

5.1.2. Линейчатый порядок

5.1.3. Доказательство теоремы A

5.2. Теоремы о несвязном порядке

5.3. Асимптотически линейчатый порядок

 

6. ОДНОРОДНЫЕ ПОРЯДКИ В A^n

 

6.1. Определение однородных порядков и примеры

6.2. Несвязные гранично однородные порядки

6.3. Классификация несвязных гранично однородных порядков

6.4. Внешне однородные порядки

6.5. Внутренне однородные порядки

6.6. Нерелятивистские однородные порядки

 

7. СВЯЗНАЯ ХРОНОГЕОМЕТРИЯ

 

7.1. Профизические и философские предпосылки причинной аксиоматики

7.2. Связная аксиоматика Мира Минковского

 

8. НЕСВЯЗНАЯ ХРОНОГЕОМЕТРИЯ

 

8.1. Отказ от микропричинности

8.2. Аксиоматика, основанная на предположении о макропричинности

 

9. ХРОНОГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВ

 

9.1. Отображение произвольных конусов

9.2. Отображение конусов в пространстве Лобачевского

9.3. Отображения дискретных конусов в гильбертовом пространстве

9.4. Отображения псевдоевклидовых пространств

9.4.1. Теоремы об отображениях конусов Ю.Ф.Борисова и А.Н.Астракова

9.4.2. Теоремa Дж. Лестер

9.5. Хроногеометрия лоренцевых многообразий

9.6. Аналог теоремы Александрова в классе частично упорядоченных полей

9.7. Вселенные с некоммутативной группой

9.7.1. Хроногеометрия вселенной Геделя

9.7.2. Хроногеометрия стационарной вселенной де Ситтера

9.8. Причинная аксиоматизация общей теории относительности

 

10. ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ПОРЯДКИ В R^n

 

10.1. Определения

10.2. Существование левоинвариантных конических порядков

10.3. Единственность абелевой хроногеометрии

10.4. Порядковые автоморфизмы

10.5. Разрывные расширения группы Aut(P)

10.6. Однородные порядки

10.7. Плотные порядки

10.8. Аксиоматизация трехмерной псевдоевклидовой геометрии

 

11. ТОПОСНАЯ ХРОНОГЕОМЕТРИЯ

11.1. Переход к теории топосов. Новые возможности

11.2. Элементарные топосы

11.2.1. Категории

11.2.2. Функторы. Категория функторов E^K

11.2.3. Топосы

11.2.4. Логика топоса

11.2.5. Топосы Bn(X), Top(X), Sets^P и M-Set

11.3. Причинная категорная теория пространства-времени

11.4. Теоретико-топосное решение проблемы четырехмерности пространства-времени

11.5. Топос Sets^P как пространство-время

 

12. ХРОНОГЕОМЕТРЫ

 

12.1. А.А. Робб

12.1.1. А. Робб и сэр Дж. Дж. Томпсон

12.1.2. Оптическая геометрия Робба

12.1.3. Причинная теория времени Робба

12.2. Г. Минковский

12.3. Н.А. Умов и В.А. Фок

12.4. А.Д. Александров

12.4.1. Ученики А.Д.Александрова

12.4.2. А.В.Левичев: воспоминания об А.Д.Александрове

12.5. Р.И. Пименов

12.5.1. Обзор научных достижений Р.И. Пименова

12.5.2. Научные труды Р.И. Пименова

12.5.3. Воспоминания об А.Д. Александрове

12.5.4. Политическая деятельность Р.И. Пименова

12.6. Ю.Ф.Борисов

12.7. М. Аксенов

12.8. М. Паладьи

12.9. Э. Мах

12.10. Э.К. Зиман

 

13. СЕМИНАР <<ХРОНОГЕОМЕТРИЯ>>

 

13.1. Первая статья по хроногеометрии

13.2. Новосибирский университет. 1965-1970 гг.

13.3. Предыстория семинара. 1968 год

13.4. Предыстория семинара. 1971 год

13.5. 1971-72 учебный год

13.6. 1972-73 учебный год

13.7. 1973-1974 учебный год

13.8. А.В. Кузьминых

13.9. После лета 1974 года

13.10. В.Я. Крейнович: после 1974 г. (воспоминания)

13.11. Осень 1985 года

13.12. После 1985 года

13.13. С.Н. Астраков: воспоминания

13.14. Зарубежные исследования по хроногеометрии

 

14. ФИЛОСОФИЯ ХРОНОГЕОМЕТРИИ

 

14.1. События

14.2. Взаимодействие событий

14.3. Причинный порядок и временной порядок

14.4. <<Божественное>> понимание Мира событий

14.5. Причинность

 

Заключение

 

Приложение.

Уравнения для физических полей и времени в мультиверсе (А.К.~Гуц)

 

15.1. Уравнения Максвелла

15.2. Уравнение для гравитационного поля в пустом пространстве

15.3. Уравнение для гравитационного поля

 

Литература